№3691

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(2\cdot 3^{x+3}+7\cdot 3^{x-2}=493\)

Ответ

2

Решение № 3691:

Для решения уравнения \(2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493 \] </li> <li>Выразим \(3^{x+3}\) и \(3^{x-2}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x \] \[ 3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9} \] </li> <li>Подставим выражения в уравнение: \[ 2 \cdot (27 \cdot 3^x) + 7 \cdot \left(\frac{3^x}{9}\right) = 493 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ 54 \cdot 3^x + \frac{7}{9} \cdot 3^x = 493 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x \left(54 + \frac{7}{9}\right) = 493 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ 54 + \frac{7}{9} = 54 + 0.777\ldots = 54 + \frac{7}{9} = \frac{486}{9} + \frac{7}{9} = \frac{493}{9} \] </li> <li>Подставим упрощенное выражение: \[ 3^x \cdot \frac{493}{9} = 493 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(\frac{493}{9}\): \[ 3^x = 9 \] </li> <li>Решим уравнение \(3^x = 9\): Поскольку \(3^2 = 9\), получаем: \[ x = 2 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493\) есть \(x = 2\). Ответ: 2