Решение №3665: Для решения уравнения \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \]
2. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x - 1 = 2 \]
3. Решим уравнение \(x - 1 = 2\): \[ x = 2 + 1 \]
4. Упростим выражение: \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3666: Для решения уравнения \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \frac{1}{3}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \frac{1}{3} \]
2. Представим число \(\frac{1}{3}\) в виде степени с основанием \(\frac{1}{3}\): \[ \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1 \]
3. Подставим \(\left(\frac{1}{3}\right)^1\) вместо \(\frac{1}{3}\) в уравнение: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{3}\right)^1 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x + 1 = 1 \]
5. Решим уравнение \(x + 1 = 1\): \[ x = 0 \]

Ответ: 0

Решение №3667: Для решения уравнения \(2^{2x+1} = 32\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{2x+1} = 32 \]
2. Представим число 32 в виде степени с основанием 2: \[ 32 = 2^5 \]
3. Подставим \(2^5\) вместо 32 в уравнение: \[ 2^{2x+1} = 2^5 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2x + 1 = 5 \]
5. Решим уравнение \(2x + 1 = 5\): \[ 2x + 1 = 5 \] \[ 2x = 5 - 1 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = \frac{4}{2} \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3668: Для решения уравнения \(10^{2x-1} = 1000\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 10^{2x-1} = 1000 \]
2. Представим число 1000 в виде степени с основанием 10: \[ 1000 = 10^3 \]
3. Подставим \(10^3\) вместо 1000 в уравнение: \[ 10^{2x-1} = 10^3 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 2x - 1 = 3 \]
5. Решим уравнение относительно \(x\): \[ 2x - 1 = 3 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3675: Для решения уравнения \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=1,5\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} = 1,5 \]
2. Перепишем число 1,5 в виде дроби: \[ 1,5 = \frac{3}{2} \]
3. Подставим \(\frac{3}{2}\) вместо 1,5 в уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \frac{3}{2} \]
4. Представим \(\frac{3}{2}\) в виде степени с основанием \(\frac{2}{3}\): \[ \frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \]
5. Подставим \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\) вместо \(\frac{3}{2}\) в уравнение: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \]
6. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3679: Для решения уравнения \(2^{x} - 2 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x} - 2 = 0 \]
2. Прибавим 2 к обеим частям уравнения: \[ 2^{x} = 2 \]
3. Представим число 2 в виде степени с основанием 2: \[ 2 = 2^1 \]
4. Подставим \(2^1\) вместо 2 в уравнение: \[ 2^{x} = 2^1 \]
5. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3691: Для решения уравнения \(2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2 \cdot 3^{x+3} + 7 \cdot 3^{x-2} = 493 \]
2. Выразим \(3^{x+3}\) и \(3^{x-2}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x \] \[ 3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 2 \cdot (27 \cdot 3^x) + 7 \cdot \left(\frac{3^x}{9}\right) = 493 \]
4. Упростим выражение: \[ 54 \cdot 3^x + \frac{7}{9} \cdot 3^x = 493 \]
5. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x \left(54 + \frac{7}{9}\right) = 493 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 54 + \frac{7}{9} = 54 + 0.777\ldots = 54 + \frac{7}{9} = \frac{486}{9} + \frac{7}{9} = \frac{493}{9} \]
7. Подставим упрощенное выражение: \[ 3^x \cdot \frac{493}{9} = 493 \]
8. Разделим обе части уравнения на \(\frac{493}{9}\): \[ 3^x = 9 \]
9. Решим уравнение \(3^x = 9\): Поскольку \(3^2 = 9\), получаем: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3692: Решим уравнение \(2 + 3^{x-2} = 3^{x-1}\) пошагово:

1. Запишем уравнение: \[ 2 + 3^{x-2} = 3^{x-1} \]
2. Выразим \(3^{x-1}\) через \(3^{x-2}\): \[ 3^{x-1} = 3 \cdot 3^{x-2} \]
3. Подставим \(3^{x-1}\) в уравнение: \[ 2 + 3^{x-2} = 3 \cdot 3^{x-2} \]
4. Перенесем \(3^{x-2}\) в правую часть уравнения: \[ 2 = 3 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-2} \]
5. Вынесем общий множитель \(3^{x-2}\): \[ 2 = 3^{x-2} (3 - 1) \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 2 = 3^{x-2} \cdot 2 \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ 1 = 3^{x-2} \]
8. Решим уравнение \(3^{x-2} = 1\): Поскольку \(3^0 = 1\), получаем: \[ x - 2 = 0 \]
9. Прибавим 2 к обеим частям уравнения: \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3693: Для решения уравнения \(3^{x+1} + 3^x = 108\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 3^{x+1} + 3^x = 108 \]
2. Выразим \(3^{x+1}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \]
3. Подставим \(3^{x+1}\) в уравнение: \[ 3 \cdot 3^x + 3^x = 108 \]
4. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x (3 + 1) = 108 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ 3^x \cdot 4 = 108 \]
6. Разделим обе части уравнения на 4: \[ 3^x = \frac{108}{4} \]
7. Упростим правую часть уравнения: \[ 3^x = 27 \]
8. Представим число 27 в виде степени с основанием 3: \[ 27 = 3^3 \]
9. Подставим \(3^3\) вместо 27 в уравнение: \[ 3^x = 3^3 \]
10. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3694: Для решения уравнения \(2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} = 12\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} = 12 \]
2. Выразим \(3^{x+1}\) и \(3^{x-1}\) через \(3^x\): \[ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \] \[ 3^{x-1} = \frac{3^x}{3} \]
3. Подставим выражения в уравнение: \[ 2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 6 \cdot \left(\frac{3^x}{3}\right) = 12 \]
4. Упростим выражение: \[ 2 \cdot 3 \cdot 3^x - 6 \cdot \frac{3^x}{3} = 12 \] \[ 6 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x = 12 \]
5. Вынесем общий множитель \(3^x\): \[ 3^x (6 - 2) = 12 \]
6. Упростим выражение в скобках: \[ 3^x \cdot 4 = 12 \]
7. Разделим обе части уравнения на 4: \[ 3^x = 3 \]
8. Решим уравнение \(3^x = 3\): Поскольку \(3^1 = 3\), получаем: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3695: Для решения уравнения \(2^{x^{3}+x-12}=1\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x^{3}+x-12} = 1 \]
2. Вспомним, что \(a^0 = 1\) для любого \(a \neq 0\). Поэтому приравняем показатель степени к нулю: \[ x^{3} + x - 12 = 0 \]
3. Решим кубическое уравнение \(x^{3} + x - 12 = 0\). Для этого найдем корни уравнения. Один из способов — это метод проб и ошибок, подстановка возможных значений \(x\): \[ \text{Попробуем } x = 3: \] \[ 3^3 + 3 - 12 = 27 + 3 - 12 = 18 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = 2: \] \[ 2^3 + 2 - 12 = 8 + 2 - 12 = -2 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = 1: \] \[ 1^3 + 1 - 12 = 1 + 1 - 12 = -10 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = 0: \] \[ 0^3 + 0 - 12 = -12 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = -3: \] \[ (-3)^3 + (-3) - 12 = -27 - 3 - 12 = -42 \neq 0 \]
4. Решим уравнение \(x^{3} + x - 12 = 0\) аналитически. Рассмотрим возможные рациональные корни уравнения. Один из возможных корней — это \(x = 2\): \[ 2^3 + 2 - 12 = 8 + 2 - 12 = 0 \] Таким образом, \(x = 2\) является корнем уравнения.
5. Проверим, является ли \(x = 2\) единственным решением. Для этого разложим кубическое уравнение на множители: \[ x^3 + x - 12 = (x - 2)(x^2 + 2x + 6) \] Уравнение \(x^2 + 2x + 6 = 0\) не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 < 0 \]
6. Таким образом, единственным решением уравнения \(x^3 + x - 12 = 0\) является \(x = 2\).

Ответ: {-4;3}

Решение №3697: Для решения уравнения \(\frac{1}{7^{x^{2}-2x-3}}=1\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{1}{7^{x^{2}-2x-3}} = 1 \]
2. Умножим обе части уравнения на \(7^{x^{2}-2x-3}\): \[ 1 = 7^{x^{2}-2x-3} \]
3. Поскольку \(7^{x^{2}-2x-3} = 1\), то \(x^{2}-2x-3 = 0\), так как \(7^0 = 1\): \[ x^{2}-2x-3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \(x^{2}-2x-3 = 0\): \[ x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1) = 0 \]
5. Рассмотрим два случая:
   • \(x-3 = 0\): \[ x = 3 \]
   • \(x+1 = 0\): \[ x = -1 \]

Ответ: {-1;3}

Решение №3704: Для решения уравнения \(2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}} \]
2. Представим \(\frac{1}{16\sqrt{2}}\) в виде степени с основанием 2: \[ \frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{16 \cdot 2^{0.5}} = \frac{1}{2^4 \cdot 2^{0.5}} = \frac{1}{2^{4.5}} = 2^{-4.5} \]
3. Подставим \(2^{-4.5}\) вместо \(\frac{1}{16\sqrt{2}}\) в уравнение: \[ 2^{x^{2}-6x+0,5} = 2^{-4.5} \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x^{2}-6x+0,5 = -4.5 \]
5. Решим квадратное уравнение \(x^{2}-6x+0,5 = -4.5\): \[ x^{2}-6x+0,5 + 4.5 = 0 \] \[ x^{2}-6x+5 = 0 \]
6. Найдём корни квадратного уравнения \(x^{2}-6x+5 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=-6\), и \(c=5\): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 4}{2} \]
7. Рассчитаем значения \(x\): \[ x = \frac{6 + 4}{2} = 5 \] \[ x = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]
8. Таким образом, решения уравнения \(2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}\) есть \(x = 5\) и \(x = 1\).

Ответ: {1;5}

Решение №3705: Для решения уравнения \(2^{x} \cdot 3^{x} = 6\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2^{x} \cdot 3^{x} = 6 \]
2. Используем свойство степеней, объединяя одноименные множители: \[ (2 \cdot 3)^{x} = 6 \]
3. Упростим выражение в скобках: \[ 6^{x} = 6 \]
4. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3706: Для решения уравнения \(5^{x} \cdot 4^{x} = 400\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 5^{x} \cdot 4^{x} = 400 \]
2. Выразим \(4^x\) через степень с основанием 2: \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \]
3. Подставим \(2^{2x}\) в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{2x} = 400 \]
4. Представим 400 в виде произведения степеней с основаниями 5 и 2: \[ 400 = 5^2 \cdot 2^4 \]
5. Подставим \(5^2 \cdot 2^4\) в уравнение: \[ 5^x \cdot 2^{2x} = 5^2 \cdot 2^4 \]
6. Приравняем показатели степеней для каждого основания: \[ 5^x = 5^2 \quad \text{и} \quad 2^{2x} = 2^4 \]
7. Решим уравнение для основания 5: \[ x = 2 \]
8. Решим уравнение для основания 2: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №3716: Для решения уравнения \((0,8)^{3-2x} = (1,25)^{3}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ (0,8)^{3-2x} = (1,25)^{3} \]
2. Представим числа 0,8 и 1,25 в виде степеней с основанием 2: \[ 0,8 = \frac{4}{5} = 0.8 = \left(\frac{2}{5}\right)^1 \] \[ 1,25 = \frac{5}{4} = 1.25 = \left(\frac{5}{4}\right)^1 \]
3. Перепишем уравнение с использованием этих представлений: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3} \]
4. Применим свойства степеней: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2x} = \left(\frac{5}{4}\right)^{3} \] \[ \left(\frac{4}{5}\right)^{3-2x} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-3} \]
5. Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ 3 - 2x = -3 \]
6. Решим уравнение: \[ 3 - 2x = -3 \] \[ 3 + 3 = 2x \] \[ 6 = 2x \] \[ x = 3 \]

Ответ: 3

Решение №3718: Для решения уравнения \(\sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} \cdot \sqrt{5} = 5 \]
2. Представим корни в виде степеней: \[ \sqrt[3]{5^{x-1}} = 5^{\frac{x-1}{3}}, \quad \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}} \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 5^{\frac{x-1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5 \]
4. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 5^{\frac{x-1}{3} + \frac{1}{2}} = 5 \]
5. Приравняем показатели степеней: \[ \frac{x-1}{3} + \frac{1}{2} = 1 \]
6. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{2(x-1)}{6} + \frac{3}{6} = 1 \]
7. Упростим выражение: \[ \frac{2(x-1) + 3}{6} = 1 \]
8. Умножим обе части уравнения на 6: \[ 2(x-1) + 3 = 6 \]
9. Раскроем скобки и упростим: \[ 2x - 2 + 3 = 6 \]
10. Сложим и вычтем числа: \[ 2x + 1 = 6 \]
11. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: \[ 2x = 5 \]
12. Разделим обе части уравнения на 2: \[ x = \frac{5}{2} \]

Ответ: 2.5