№3695

Экзамены с этой задачей: Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(2^{x^{3}+x-12}=1\)

Ответ

{-4;3}

Решение № 3695:

Для решения уравнения \(2^{x^{3}+x-12}=1\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 2^{x^{3}+x-12} = 1 \] </li> <li>Вспомним, что \(a^0 = 1\) для любого \(a \neq 0\). Поэтому приравняем показатель степени к нулю: \[ x^{3} + x - 12 = 0 \] </li> <li>Решим кубическое уравнение \(x^{3} + x - 12 = 0\). Для этого найдем корни уравнения. Один из способов — это метод проб и ошибок, подстановка возможных значений \(x\): \[ \text{Попробуем } x = 3: \] \[ 3^3 + 3 - 12 = 27 + 3 - 12 = 18 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = 2: \] \[ 2^3 + 2 - 12 = 8 + 2 - 12 = -2 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = 1: \] \[ 1^3 + 1 - 12 = 1 + 1 - 12 = -10 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = 0: \] \[ 0^3 + 0 - 12 = -12 \neq 0 \] \[ \text{Попробуем } x = -3: \] \[ (-3)^3 + (-3) - 12 = -27 - 3 - 12 = -42 \neq 0 \] </li> <li>Решим уравнение \(x^{3} + x - 12 = 0\) аналитически. Рассмотрим возможные рациональные корни уравнения. Один из возможных корней — это \(x = 2\): \[ 2^3 + 2 - 12 = 8 + 2 - 12 = 0 \] Таким образом, \(x = 2\) является корнем уравнения. </li> <li>Проверим, является ли \(x = 2\) единственным решением. Для этого разложим кубическое уравнение на множители: \[ x^3 + x - 12 = (x - 2)(x^2 + 2x + 6) \] Уравнение \(x^2 + 2x + 6 = 0\) не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 < 0 \] </li> <li>Таким образом, единственным решением уравнения \(x^3 + x - 12 = 0\) является \(x = 2\). </li> </ol> Ответ: \(x = 2\).