№3704

Экзамены с этой задачей: Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}\)

Ответ

{1;5}

Решение № 3704:

Для решения уравнения \(2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}} \] </li> <li>Представим \(\frac{1}{16\sqrt{2}}\) в виде степени с основанием 2: \[ \frac{1}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{16 \cdot 2^{0.5}} = \frac{1}{2^4 \cdot 2^{0.5}} = \frac{1}{2^{4.5}} = 2^{-4.5} \] </li> <li>Подставим \(2^{-4.5}\) вместо \(\frac{1}{16\sqrt{2}}\) в уравнение: \[ 2^{x^{2}-6x+0,5} = 2^{-4.5} \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x^{2}-6x+0,5 = -4.5 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(x^{2}-6x+0,5 = -4.5\): \[ x^{2}-6x+0,5 + 4.5 = 0 \] \[ x^{2}-6x+5 = 0 \] </li> <li>Найдём корни квадратного уравнения \(x^{2}-6x+5 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), где \(a=1\), \(b=-6\), и \(c=5\): \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{6 \pm 4}{2} \] </li> <li>Рассчитаем значения \(x\): \[ x = \frac{6 + 4}{2} = 5 \] \[ x = \frac{6 - 4}{2} = 1 \] </li> <li>Таким образом, решения уравнения \(2^{x^{2}-6x+0,5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}\) есть \(x = 5\) и \(x = 1\). </li> </ol> Ответ: 1, 5