№3753

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(3\cdot 4^{x}-\frac{1}{3}9^{x+2}=6\cdot 4^{x+1}-\frac{1}{2}\cdot 9^{x+1}\)

Ответ

-0.5

Решение № 3753:

Для решения уравнения \(3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1} \] </li> <li>Представим \(4^{x+1}\) и \(9^{x+2}\) через \(4^x\) и \(9^x\): \[ 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x \] \[ 9^{x+2} = 9^2 \cdot 9^x = 81 \cdot 9^x \] </li> <li>Подставим \(4^{x+1}\) и \(9^{x+2}\) в уравнение: \[ 3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9^x = 6 \cdot 4 \cdot 4^x - \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9^x \] </li> <li>Упростим выражение: \[ 3 \cdot 4^{x} - 27 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x \] </li> <li>Перенесем все члены с \(4^x\) и \(9^x\) на одну сторону уравнения: \[ 3 \cdot 4^{x} - 24 \cdot 4^x = 27 \cdot 9^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x \] </li> <li>Упростим и вынесем общий множитель: \[ -21 \cdot 4^x = \left(27 - \frac{9}{2}\right) \cdot 9^x \] \[ -21 \cdot 4^x = \left(\frac{54}{2} - \frac{9}{2}\right) \cdot 9^x \] \[ -21 \cdot 4^x = \frac{45}{2} \cdot 9^x \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(-21\): \[ 4^x = -\frac{45}{42} \cdot 9^x \] \[ 4^x = -\frac{15}{14} \cdot 9^x \] </li> <li>Представим \(4^x\) и \(9^x\) через \(2^{2x}\) и \(3^{2x}\): \[ 2^{2x} = -\frac{15}{14} \cdot 3^{2x} \] </li> <li>Поскольку \(2^{2x}\) и \(3^{2x}\) не могут быть равны с отрицательным коэффициентом, это уравнение не имеет решений. </li> </ol> Таким образом, уравнение \(3 \cdot 4^{x} - \frac{1}{3} 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}\) не имеет решений. Ответ: нет решений.