№3721

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(\sqrt[4]{81^{x-3}}\cdot \sqrt{3}=9\)

Ответ

4.5

Решение № 3721:

Для решения уравнения \(\sqrt[4]{81^{x-3}} \cdot \sqrt{3} = 9\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \sqrt[4]{81^{x-3}} \cdot \sqrt{3} = 9 \] </li> <li>Представим числа 81 и 3 в виде степеней с основанием 3: \[ 81 = 3^4 \quad \text{и} \quad 3 = 3^1 \] </li> <li>Подставим \(81 = 3^4\) и \(3 = 3^1\) в уравнение: \[ \sqrt[4]{(3^4)^{x-3}} \cdot \sqrt{3^1} = 9 \] </li> <li>Раскроем степени: \[ \sqrt[4]{3^{4(x-3)}} \cdot 3^{1/2} = 9 \] </li> <li>Упростим корни, используя свойства степеней: \[ 3^{x-3} \cdot 3^{1/2} = 9 \] </li> <li>Представим число 9 в виде степени с основанием 3: \[ 9 = 3^2 \] </li> <li>Подставим \(9 = 3^2\) в уравнение: \[ 3^{x-3} \cdot 3^{1/2} = 3^2 \] </li> <li>Объединим показатели степеней: \[ 3^{x-3 + 1/2} = 3^2 \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x - 3 + \frac{1}{2} = 2 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ x - 3 + \frac{1}{2} = 2 \] \[ x - 2.5 = 2 \] \[ x = 4.5 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\sqrt[4]{81^{x-3}} \cdot \sqrt{3} = 9\) есть \(x = 4.5\). Ответ: \(4.5\)