№3731

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(4^{x+1}+11\cdot 4^{x-2}=300\)

Ответ

3

Решение № 3731:

Для решения уравнения \(4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300 \] </li> <li>Выразим \(4^{x+1}\) и \(4^{x-2}\) через \(4^x\): \[ 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x \] \[ 4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16} \] </li> <li>Подставим \(4^{x+1}\) и \(4^{x-2}\) в уравнение: \[ 4 \cdot 4^x + 11 \cdot \frac{4^x}{16} = 300 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(4^x\): \[ 4^x \left(4 + \frac{11}{16}\right) = 300 \] </li> <li>Упростим выражение в скобках: \[ 4 + \frac{11}{16} = \frac{64}{16} + \frac{11}{16} = \frac{75}{16} \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 4^x \cdot \frac{75}{16} = 300 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(\frac{16}{75}\): \[ 4^x = 300 \cdot \frac{16}{75} \] </li> <li>Вычислим произведение: \[ 300 \cdot \frac{16}{75} = 300 \cdot \frac{16}{75} = 64 \] Таким образом, уравнение примет вид: \[ 4^x = 64 \] </li> <li>Представим число 64 в виде степени с основанием 4: \[ 64 = 4^3 \] </li> <li>Подставим \(4^3\) вместо 64 в уравнение: \[ 4^x = 4^3 \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 3 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(4^{x+1} + 11 \cdot 4^{x-2} = 300\) есть \(x = 3\). Ответ: 3