№3755

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простые показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(7^{x}-5^{x+1}=3\cdot 5^{x-1}-13\cdot 7^{x-1}\)

Ответ

2

Решение № 3755:

Для решения уравнения \(7^{x}-5^{x+1}=3 \cdot 5^{x-1}-13 \cdot 7^{x-1}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 7^{x} - 5^{x+1} = 3 \cdot 5^{x-1} - 13 \cdot 7^{x-1} \] </li> <li>Выразим \(5^{x+1}\) и \(7^{x-1}\) через \(5^x\) и \(7^x\): \[ 5^{x+1} = 5 \cdot 5^x \] \[ 7^{x-1} = \frac{7^x}{7} \] \[ 5^{x-1} = \frac{5^x}{5} \] </li> <li>Подставим выражения в уравнение: \[ 7^x - 5 \cdot 5^x = 3 \cdot \frac{5^x}{5} - 13 \cdot \frac{7^x}{7} \] </li> <li>Упростим выражения: \[ 7^x - 5 \cdot 5^x = \frac{3 \cdot 5^x}{5} - \frac{13 \cdot 7^x}{7} \] </li> <li>Умножим все части уравнения на 35, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 35 \cdot 7^x - 35 \cdot 5 \cdot 5^x = 35 \cdot \frac{3 \cdot 5^x}{5} - 35 \cdot \frac{13 \cdot 7^x}{7} \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 35 \cdot 7^x - 175 \cdot 5^x = 21 \cdot 5^x - 65 \cdot 7^x \] </li> <li>Перенесем все члены с \(7^x\) и \(5^x\) на одну сторону уравнения: \[ 35 \cdot 7^x + 65 \cdot 7^x = 175 \cdot 5^x + 21 \cdot 5^x \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 100 \cdot 7^x = 196 \cdot 5^x \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на \(5^x\): \[ \frac{100 \cdot 7^x}{5^x} = 196 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 100 \cdot \left( \frac{7}{5} \right)^x = 196 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 100: \[ \left( \frac{7}{5} \right)^x = \frac{196}{100} \] </li> <li>Упростим правую часть уравнения: \[ \left( \frac{7}{5} \right)^x = \left( \frac{7}{5} \right)^2 \] </li> <li>Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели степеней: \[ x = 2 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(7^{x} - 5^{x+1} = 3 \cdot 5^{x-1} - 13 \cdot 7^{x-1}\) есть \(x = 2\). Ответ: 2