Решение №6: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v_п\) км/ч.
2. Скорость велосипедиста будет \(v_в = 2\frac{1}{3} v_п = \frac{7}{3} v_п\) км/ч.
3. За 15 минут (что составляет \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\) часа) велосипедист догнал пешехода.
4. За это время велосипедист проехал расстояние \(s_в = v_в \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{3} v_п \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{12} v_п\) км.
5. За это же время пешеход прошел расстояние \(s_п = v_п \cdot \frac{1}{4}\) км.
6. Велосипедист догнал пешехода, значит, он проехал расстояние, равное 1,6 км плюс расстояние, пройденное пешеходом за 15 минут: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \] Для этого приведем все к общему знаменателю: \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{1}{4} v_п = 1,6 \] \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{3}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{4}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{1}{3} v_п = 1,6 \] \[ v_п = 1,6 \cdot 3 \] \[ v_п = 4,8 \text{ км/ч} \]

Ответ: 4.8

Решение №65: Для решения задачи о встрече легковой машины и грузовика выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Легковая машина выехала из города \(A\) в город \(B\) со скоростью \(60 \frac{км}{ч}\).
   • Грузовик выехал из города \(B\) в город \(A\) со скоростью \(40 \frac{км}{ч}\) через 2 часа после выезда легковой машины.
   • Расстояние между городами \(A\) и \(B\) составляет \(620\) км.
2. Определим расстояние, которое проехала легковая машина за 2 часа: \[ \text{Расстояние} = 60 \frac{км}{ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км} \]
3. Таким образом, через 2 часа легковая машина находится на расстоянии \(120\) км от города \(A\), а расстояние между легковой машиной и городом \(B\) составляет: \[ 620 \text{ км} - 120 \text{ км} = 500 \text{ км} \]
4. Теперь грузовик выезжает из города \(B\) и движется навстречу легковой машине. Расстояние между ними составляет \(500\) км. Обозначим время до встречи как \(t\) часов.
5. Запишем уравнение для определения времени до встречи: \[ 60t + 40t = 500 \]
6. Упростим уравнение: \[ 100t = 500 \]
7. Решим уравнение для \(t\): \[ t = \frac{500}{100} = 5 \text{ ч} \]
8. Определим расстояние, которое проедет легковая машина за это время: \[ 60 \frac{км}{ч} \times 5 \text{ ч} = 300 \text{ км} \]
9. Таким образом, встреча произойдет на расстоянии \(300\) км от города \(A\).

Ответ: 420

Решение №67: Для решения задачи о встрече двух человек, отправившихся на прогулку, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние до опушки леса как \(d = 4\) км.
2. Обозначим скорости двух людей как \(v_1 = 3,3\) \(\frac{км}{ч}\) и \(v_2 = 5,5\) \(\frac{км}{ч}\).
3. Время, за которое второй человек доходит до опушки леса: \[ t_1 = \frac{d}{v_2} = \frac{4}{5,5} = \frac{4}{5.5} = \frac{4 \cdot 10}{55} = \frac{40}{55} = \frac{8}{11} \text{ часов} \]
4. За это время первый человек пройдет расстояние: \[ s_1 = v_1 \cdot t_1 = 3,3 \cdot \frac{8}{11} = \frac{3,3 \cdot 8}{11} = \frac{26,4}{11} = \frac{264}{110} = \frac{132}{55} = \frac{24}{10} = 2,4 \text{ км} \]
5. Теперь второй человек возвращается обратно с той же скоростью \(v_2\). Расстояние, которое он должен пройти до встречи с первым человеком, равно \(4 - 2,4 = 1,6\) км.
6. Время, за которое второй человек пройдет это расстояние: \[ t_2 = \frac{1,6}{v_2} = \frac{1,6}{5,5} = \frac{1,6 \cdot 10}{55} = \frac{16}{55} = \frac{16}{55} \text{ часов} \]
7. За это время первый человек пройдет дополнительное расстояние: \[ s_2 = v_1 \cdot t_2 = 3,3 \cdot \frac{16}{55} = \frac{3,3 \cdot 16}{55} = \frac{52,8}{55} = \frac{528}{550} = \frac{264}{275} = \frac{264}{275} \text{ км} \]
8. Таким образом, полное расстояние, которое пройдет первый человек до встречи: \[ s = s_1 + s_2 = 2,4 + \frac{264}{275} = 2,4 + 0,96 = 3,36 \text{ км} \]

Ответ: 1.5

Решение №77: Для решения задачи определим скорость первого поезда, зная расстояние между станциями, время до встречи и скорость второго поезда.

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние между станциями: \(350\) км.
   • Время до встречи: \(2,5\) часа.
   • Скорость второго поезда: \(65\) км/ч.
2. Обозначим скорость первого поезда как \(v_1\).
3. Запишем уравнение, связывающее расстояние, время и суммарную скорость поездов: \[ 350 = (v_1 + 65) \cdot 2,5 \]
4. Раскроем скобки и умножим обе части уравнения на \(2,5\): \[ 350 = 2,5 \cdot v_1 + 2,5 \cdot 65 \]
5. Упростим выражение: \[ 350 = 2,5 \cdot v_1 + 162,5 \]
6. Вычтем \(162,5\) из обеих частей уравнения: \[ 350 - 162,5 = 2,5 \cdot v_1 \]
7. Упростим выражение: \[ 187,5 = 2,5 \cdot v_1 \]
8. Разделим обе части уравнения на \(2,5\): \[ v_1 = \frac{187,5}{2,5} \]
9. Вычислим значение \(v_1\): \[ v_1 = 75 \]

Ответ: 75

Решение №85: Для решения задачи определим скорости автобусов и найдем расстояние между ними через 24 минуты после выезда.

1. Обозначим скорость первого автобуса как \(v_1 = 54\) км/ч. По условию, это составляет \(0,6\) от скорости второго автобуса \(v_2\).
2. Установим зависимость скоростей: \[ v_1 = 0,6 \cdot v_2 \] Подставим значение \(v_1\): \[ 54 = 0,6 \cdot v_2 \]
3. Решим уравнение для \(v_2\): \[ v_2 = \frac{54}{0,6} = 90 \text{ км/ч} \]
4. Второй автобус догнал первый через 1 час 30 минут (или 1,5 часа). Время догона одинаково для обоих автобусов, поэтому они прошли одинаковое расстояние \(d\).
5. Выразим расстояние \(d\), которое прошел первый автобус за 1,5 часа: \[ d = v_1 \cdot t = 54 \cdot 1,5 = 81 \text{ км} \]
6. Второй автобус прошел это же расстояние за 1,5 часа: \[ d = v_2 \cdot t_2 = 90 \cdot t_2 = 81 \text{ км} \] Решим уравнение для \(t_2\): \[ 90 \cdot t_2 = 81 \] \[ t_2 = \frac{81}{90} = \frac{9}{10} = 0,9 \text{ часа} \]
7. Теперь найдем расстояние между автобусами через 24 минуты (0,4 часа) после выезда. Первый автобус проехал: \[ d_1 = v_1 \cdot 0,4 = 54 \cdot 0,4 = 21,6 \text{ км} \]
8. Второй автобус проехал: \[ d_2 = v_2 \cdot 0,4 = 90 \cdot 0,4 = 36 \text{ км} \]
9. Расстояние между автобусами через 24 минуты: \[ \Delta d = d_2 - d_1 = 36 - 21,6 = 14,4 \text{ км} \]

Ответ: 39.6

Решение №2583: Пусть скорость автобуса по расписанию \( x \) км/ч, он ехал со скоростью \( x-10 \) км/ч. 30 минут=\( \frac{1}{2} \) часа. Время по расписанию \( \frac{100}{x} \) ч, во время непогоды \( \frac{100}{x-10} \) ч, отсюда \( \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}=\frac{1}{2} \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}-\frac{1}{2}=0 \frac{100*2*x-100*2(x-10)-x(x-10)}{2x(x-10)}=0 \frac{200x-200x+2000-x^{2}+10x}{2x(x-10)}=0 -x^{2}+10x+2000=0 2x(x-10)\neq 0; x\neq 0; x\neq 10 D=10^{2}-4*(-1)*2000=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{-2}=50 x_{2}=\frac{-10+90}{-2}=-40 \).

Ответ: 50 км/ч

Решение №2584: Пусть скорость велосипедиста до турбазы \( x \) км/ч, обратно он снизил скорость на 4 км/ч и ехал со скоростью \( x-4 \) км/ч. Расстояние 16 км он проехал туда и обратно за 3 часа 20 минут. 3 часа 20 минут= \( 3\frac{20}{60}=\frac{10}{3} \). \( \frac{16}{x}+\frac{16}{x-4}=\frac{10}{3} \frac{16*3(x-4)+16*3x+10x(x-4)}{3x(x-4)}=0 \frac{48x-192+48x-10x+40x}{3x(x-4)}=0 -10x^{2}+136x-192=0 3x(x-4)\neq 0; x\neq 0; x\neq 4 D=136^{2}-4*(-10)*(-192)=18496-7680=10816=104^{2} x_{1}=\frac{-136-104}{2*(-10)}=\frac{-240}{-20}=12 x_{2}=\frac{-136+104}{-20}=1,6 x=12; 12-4=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Решение №2585: Пусть скорость автобуса \( x\) км/ч, то скорость такси \(x+20 \) км/ч, время движения автобуса \( \frac{40}{x} \), а такси \( \frac{40}{x+20} \), автобус вышел на 10 минут раньше, т.е. на \( \frac{1}{6} \) ч. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac{1}{6} \frac{40*6(x+20)-40*6x-x(x+20)}{6x(x+20)}=0 \frac{240x+4800-240x-x^{2}-20x}{6x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+4800=0 6x(x+20)\neq 0; x\neq 0; x\neq -20 D=(-20)^{2}-4*(-1)*4800=400+19200=19600=140^{2} x_{1}=\frac{20-140}{-2}=\frac{-120}{-2} x_{2}=\frac{20+140}{-2}=-80 x=60, 60+20=80 \) - скорость такси.

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч

Решение №2589: Пусть первоначальная скорость поезда \( x \) км/ч то по расписанию время прохождения\( \frac{54}{x} \)ч. Фактически \( \frac{14}{x} \), затем 10 минут \( \frac{1}{6} \), затем \( \frac{54-14}{x+10}=\frac{40}{x+10} \)ч и опоздал на 2 минуты. 2мин=\( \frac{1}{30}\). Отсюда: \( \frac{54}{x}-\frac{1}{30}=\frac{14}{x}+\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6} \frac{54}{x}-\frac{14}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}; \frac{40}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{5} \frac{40}{x}=\frac{200+x+10}{5(x+10); \frac{40}{x}}=\frac{210+x}{5(x+10)}; x\neq 0; x+10\neq 0 x^{2}+210x=200(x+10) x^{2}+10x-2000=0 D=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{2}=-50 x_{2}=\frac{-10+90}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №2593: Пусть первоначальная скорость была \( x \) км/ч, обратно он проехал 2ч и проехал \( 2x \) км, осталось \(40-2x \) км. После остановки на 20 минут, он скорость увеличил и ехал \( x+4 \) км/ч, отсюда: \(\frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+2+\frac{1}{3} \frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+\frac{7}{3}; \frac{40}{x}=\frac{120-6x+7x+28}{3(x+4)} \frac{40}{x}=\frac{x+148}{3x+12}; 40(3x+2)=x(x+148) x^{2}+148x-120x-480=0 x^{2}+28x-480=0 x^{2}+28x-480=0 k=14 x_{1}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-14\pm \sqrt{196+480}=-14\pm \sqrt{676}=-14\pm 2b x_{1}=-14-2b=-40 x_{2}=-14+2b=12 x=12, 12+4=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №3926: Для решения задачи о длине поезда, двигающегося равномерно со скоростью 54 км/ч и проезжающего мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд, выполним следующие шаги:

1. Запишем скорость поезда и пешехода в км/ч: \[ v_{\text{поезда}} = 54 \text{ км/ч}, \quad v_{\text{пешехода}} = 6 \text{ км/ч} \]
2. Переведем скорости в м/с: \[ v_{\text{поезда}} = 54 \text{ км/ч} \times \frac{1000 \text{ м}}{1 \text{ км}} \times \frac{1 \text{ ч}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с} \] \[ v_{\text{пешехода}} = 6 \text{ км/ч} \times \frac{1000 \text{ м}}{1 \text{ км}} \times \frac{1 \text{ ч}}{3600 \text{ с}} = 1.67 \text{ м/с} \]
3. Определим относительную скорость поезда и пешехода, поскольку они движутся навстречу друг другу: \[ v_{\text{относительная}} = v_{\text{поезда}} + v_{\text{пешехода}} = 15 \text{ м/с} + 1.67 \text{ м/с} = 16.67 \text{ м/с} \]
4. Запишем время, за которое поезд проезжает мимо пешехода: \[ t = 30 \text{ с} \]
5. Вычислим длину поезда, используя формулу: \[ \text{Длина поезда} = v_{\text{относительная}} \times t = 16.67 \text{ м/с} \times 30 \text{ с} = 500.1 \text{ м} \]
6. Округлим длину поезда до целого числа: \[ \text{Длина поезда} \approx 500 \text{ м} \]

Ответ: 500

Решение №3929: Для решения задачи о длине товарного состава выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Скорость пассажирского поезда: \(60 \text{ км/ч}\).
   • Скорость товарного состава: \(30 \text{ км/ч}\).
   • Время, за которое товарный состав прошёл мимо пассажирского поезда: \(20 \text{ с}\).
2. Переведём скорости из км/ч в м/с:
   • \(60 \text{ км/ч} = \frac{60 \times 1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{60000}{3600} \text{ м/с} = 16.67 \text{ м/с}\).
   • \(30 \text{ км/ч} = \frac{30 \times 1000}{3600} \text{ м/с} = \frac{30000}{3600} \text{ м/с} = 8.33 \text{ м/с}\).
3. Найдём относительную скорость, с которой товарный состав проходит мимо пассажирского поезда:
   • Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, сложим их скорости: \(16.67 \text{ м/с} + 8.33 \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}\).
4. Используем формулу для нахождения длины товарного состава: \[ \text{Длина} = \text{Скорость} \times \text{Время} \] Подставим значения: \[ \text{Длина} = 25 \text{ м/с} \times 20 \text{ с} = 500 \text{ м} \]

Ответ: 500

Решение №3934: Для решения задачи о скоростях двух автомобилей, где первый автомобиль проезжает расстояние от А до В в \(1\frac{2}{7}\) раза быстрее второго автомобиля, и скорость первого автомобиля на 18 км/ч больше скорости второго, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость второго автомобиля как \(v\) км/ч.
2. Тогда скорость первого автомобиля будет \(v + 18\) км/ч.
3. Согласно условию, первый автомобиль проезжает расстояние в \(1\frac{2}{7}\) раза быстрее второго автомобиля. Преобразуем дробь \(1\frac{2}{7}\) в обыкновенную дробь: \[ 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7} \]
4. Соотношение скоростейauta выражается так: \[ \frac{v + 18}{v} = \frac{9}{7} \]
5. Перемножим обе части уравнения на \(v\): \[ 7(v + 18) = 9v \]
6. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 7v + 126 = 9v \]
7. Перенесем все \(v\) в одну сторону уравнения: \[ 7v + 126 - 9v = 0 \] \[ -2v + 126 = 0 \]
8. Решим уравнение относительно \(v\): \[ -2v = -126 \] \[ v = \frac{126}{2} \] \[ v = 63 \]
9. Таким образом, скорость второго автомобиля \(v = 63\) км/ч.
10. Скорость первого автомобиля \(v + 18\) км/ч: \[ v + 18 = 63 + 18 = 81 \]

Ответ: {63;81}

Решение №3943: Для решения задачи о двух велосипедистах, выехавших из лагеря в противоположных направлениях, выполним следующие шаги:

1. Запишем скорости велосипедистов: \[ v_1 = 10 \text{ км/ч}, \quad v_2 = 12 \text{ км/ч} \]
2. Определим время, через которое нужно найти расстояние: \[ t = 2 \text{ ч} \]
3. Найдем расстояние, пройденное каждым велосипедистом за это время: \[ s_1 = v_1 \cdot t = 10 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 20 \text{ км} \] \[ s_2 = v_2 \cdot t = 12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24 \text{ км} \]
4. Поскольку велосипедисты движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними будет суммой расстояний, пройденных каждым из них: \[ s = s_1 + s_2 = 20 \text{ км} + 24 \text{ км} = 44 \text{ км} \]

Ответ: 44

Решение №3946: Для решения задачи о расстоянии между сёлами выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Два велосипедиста выехали одновременно из двух сёл навстречу друг другу и встретились через 1,6 ч. Скорость первого 10 км/ч, а второго − 12 км/ч.
2. Определим суммарную скорость велосипедистов: \[ V_{\text{сумм}} = V_1 + V_2 = 10 \, \text{км/ч} + 12 \, \text{км/ч} = 22 \, \text{км/ч} \]
3. Используем формулу для нахождения расстояния: \[ S = V_{\text{сумм}} \cdot t \] где \(S\) — расстояние между сёлами, \(V_{\text{сумм}}\) — суммарная скорость, \(t\) — время встречи.
4. Подставим значения в формулу: \[ S = 22 \, \text{км/ч} \cdot 1,6 \, \text{ч} \]
5. Выполним умножение: \[ S = 22 \cdot 1,6 = 35,2 \, \text{км} \]

Ответ: 35.2

Решение №3949: Для решения задачи о двух поездах, которые вышли с одной станции в одном направлении с разными скоростями, выполним следующие шаги:

1. Запишем скорости поездов: \(v_1 = 60\) км/ч и \(v_2 = 70\) км/ч.
2. Определим относительную скорость поездов: \[ v_{\text{отн}} = v_2 - v_1 = 70 - 60 = 10 \text{ км/ч} \]
3. Запишем уравнение для расстояния между поездами через время \(t\): \[ S = v_{\text{отн}} \cdot t \]
4. Подставим значения в уравнение: \[ 35 = 10 \cdot t \]
5. Решим уравнение относительно \(t\): \[ t = \frac{35}{10} = 3.5 \text{ часа} \]

Ответ: 3.5

Решение №3951: Для решения задачи о скорости поездов, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:

   Расстояние между станциями А и B равно 165 км. Два поезда выходят одновременно навстречу друг другу и встречаются через 1,5 часа на разъезде, который находится в 90 км от станции А.

2. Определим расстояние, пройденное каждым поездом:

   Поезд, вышедший со станции А, прошел 90 км.

   Поезд, вышедший со станции B, прошел \(165 - 90 = 75\) км.

3. Найдем время в пути каждого поезда:

   Оба поезда встретились через 1,5 часа.

4. Вычислим скорость первого поезда:

   Скорость поезда из А: \( \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} \)

   \[ v_A = \frac{90 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч} \]
5. Вычислим скорость второго поезда:

   Скорость поезда из B: \( \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} \)

   \[ v_B = \frac{75 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч} \]
6. Заключение:

   Скорость поезда, вышедшего со станции А, равна 60 км/ч.

   Скорость поезда, вышедшего со станции B, равна 50 км/ч.

Ответ: {50;60}

Решение №3953: Для решения задачи о двух поездах, выехавших навстречу друг другу, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние между пунктами A и B: \(350\) км.
   • Скорость первого поезда: \(65\) км/ч.
   • Скорость второго поезда: \(75\) км/ч.
2. Обозначим время, через которое расстояние между поездами составит \(70\) км, через \(t\) часов.
3. Запишем уравнение, учитывая, что поезда движутся навстречу друг другу: \[ \text{Расстояние между поездами} = 350 - (\text{путь первого поезда} + \text{путь второго поезда}) \] \[ 70 = 350 - (65t + 75t) \]
4. Упростим уравнение: \[ 70 = 350 - (65t + 75t) \] \[ 70 = 350 - 140t \]
5. Решим уравнение относительно \(t\): \[ 70 = 350 - 140t \] \[ 140t = 350 - 70 \] \[ 140t = 280 \] \[ t = \frac{280}{140} \] \[ t = 2 \]
6. Таким образом, через \(2\) часа расстояние между поездами составит \(70\) км.
7. Проверим, есть ли другие возможные решения:
   • Если поезда движутся навстречу друг другу и через \(2\) часа расстояние между ними составит \(70\) км, то других решений нет, так как поезда могут встретиться только один раз при данных условиях.

Ответ: {2;2}

Решение №3961: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем скорость первого автомобиля: \[ v_1 = 122,5 \text{ км/ч} \]
2. Выразим скорость второго автомобиля через скорость первого: \[ v_2 = \frac{5}{7} v_1 \]
3. Подставим значение \(v_1\) в выражение для \(v_2\): \[ v_2 = \frac{5}{7} \cdot 122,5 = \frac{5}{7} \cdot 122,5 = \frac{5 \cdot 122,5}{7} = \frac{612,5}{7} = 87,5 \text{ км/ч} \]
4. Определим время, через которое нужно найти расстояние: \[ t = 1,5 \text{ ч} \]
5. Найдем расстояние, пройденное первым автомобилем за 1,5 ч: \[ S_1 = v_1 \cdot t = 122,5 \cdot 1,5 = 183,75 \text{ км} \]
6. Найдем расстояние, пройденное вторым автомобилем за 1,5 ч: \[ S_2 = v_2 \cdot t = 87,5 \cdot 1,5 = 131,25 \text{ км} \]
7. Суммарное расстояние, которое они прошли навстречу друг другу за 1,5 ч: \[ S = S_1 + S_2 = 183,75 + 131,25 = 315 \text{ км} \]

Ответ: 175

Решение №3969: Для решения задачи о том, когда мотоциклист догонит велосипедиста, выполним следующие шаги:

1. Определим расстояние, которое проехал велосипедист за 4 часа до начала привала: \[ \text{Расстояние велосипедиста} = 20 \, \text{км/ч} \times 4 \, \text{ч} = 80 \, \text{км} \]
2. Определим, сколько времени велосипедист будет на привале: \[ \text{Время привала} = 1 \, \text{ч} \]
3. Определим, сколько времени пройдет до того, как мотоциклист выедет из города: \[ \text{Время выезда мотоциклиста} = 8 \, \text{ч} + 4 \, \text{ч} = 12 \, \text{ч} \]
4. Определим расстояние, которое велосипедист проедет за время, пока мотоциклист будет двигаться: \[ \text{Расстояние велосипедиста} = 80 \, \text{км} + 20 \, \text{км/ч} \times t \] где \( t \) — время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста.
5. Определим расстояние, которое проедет мотоциклист за это же время: \[ \text{Расстояние мотоциклиста} = 50 \, \text{км/ч} \times t \]
6. Запишем уравнение, когда мотоциклист догоняет велосипедиста: \[ 80 + 20t = 50t \]
7. Решим уравнение: \[ 80 + 20t = 50t \\ 80 = 30t \\ t = \frac{80}{30} = \frac{8}{3} \, \text{ч} = 2 \, \text{ч} 40 \, \text{мин} \]
8. Определим время, когда мотоциклист догонит велосипедиста: \[ \text{Время догона} = 12 \, \text{ч} + 2 \, \text{ч} 40 \, \text{мин} = 14 \, \text{ч} 40 \, \text{мин} \]

Ответ: 0.5833333333333334

Решение №3971: Для решения задачи о времени, за которое плот проплывёт от города А до города B, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние между городами А и B: \(d = 30\) км.
   • Время прохождения пути от А до B на моторной лодке: \(t_{AB} = 2\) часа.
   • Время прохождения пути от B до A на моторной лодке: \(t_{BA} = 3\) часа.
2. Определим скорость моторной лодки по течению и против течения:
   • Скорость моторной лодки по течению: \(v_{AB} = \frac{d}{t_{AB}} = \frac{30}{2} = 15\) км/ч.
   • Скорость моторной лодки против течения: \(v_{BA} = \frac{d}{t_{BA}} = \frac{30}{3} = 10\) км/ч.
3. Выразим скорость течения реки \(v_t\) и скорость лодки в стоячей воде \(v_l\):
   • Скорость лодки по течению: \(v_{AB} = v_l + v_t\).
   • Скорость лодки против течения: \(v_{BA} = v_l - v_t\).
4. Решим систему уравнений для нахождения \(v_l\) и \(v_t\):
   • \(v_l + v_t = 15\).
   • \(v_l - v_t = 10\).
5. Сложим уравнения: \[ (v_l + v_t) + (v_l - v_t) = 15 + 10 \] \[ 2v_l = 25 \] \[ v_l = 12.5 \text{ км/ч} \]
6. Вычтем уравнения: \[ (v_l + v_t) - (v_l - v_t) = 15 - 10 \] \[ 2v_t = 5 \] \[ v_t = 2.5 \text{ км/ч} \]
7. Определим время, за которое плот проплывёт от А до B:
   • Скорость плота равна скорости течения реки: \(v_t = 2.5\) км/ч.
   • Время прохождения расстояния \(d\) плотом: \[ t_{\text{плот}} = \frac{d}{v_t} = \frac{30}{2.5} = 12 \text{ часов} \]
8. Ответ: плот проплывёт от А до B за 12 часов.

Ответ: 12

Решение №6452: На весь путь затратил 1,5 часа, отсюда \( \frac{18}{x}+\frac{6}{x-6}=1,5 \frac{18(x-6)+6x}{x(x-6)}=\frac{3}{2} \frac{18x-108+6x}{x(x-6)}-\frac{3}{2}=0 \frac{(24x-108)*2}-3x(x-6){2x(x-6)}=0 \frac{48x-216-3x^{2}+18x}{2x(x-6)}=0 -3x^{2}+66x-216=0 | : 3 2x(x-6)\neq 0 x^{2}-22x+72=0 D=(-22)^{2}+4*1*72=484-282=196=14^{2} x_{1}=\frac{22-14}{2}=4 x_{2}=\frac{22+14}{2}=18 x=18, 18-6=12 \).

Ответ: 12 км/ч

Решение №6459: Пусть первоначальная скорость автобуса равна \( x \) км/ч, за 2 часа он проехал 2 км, осталось \( 260-2x \) км и он увеличил скорость на 5 км/ч и ехал со скоростью \( x+5 \) км/ч и время затратил \( \frac{260-2x}{x+5} \). 30 мин =\( \frac{1}{2} \). Составляем уравнение: \( \frac{260}{x}-(2+\frac{260-x}{x+5})=\frac{1}{2} \frac{260}{x}-\frac{1}{2}=2+\frac{260-2x}{x+5} \frac{520-x}{2x}=\frac{2x+10+260-2x}{x+5} \frac{520-x}{2x}=\frac{270}{x+5} (520-x)(x+5)=270*2x 520x-x^{2}-5x+2600=540z -x^{2}-25x+2600=0 x^{2}+25x-2600=0 D=25^{2}-4*1*(-2600)=625+10400=11025=105^{2} x_{1}=\frac{-25-105}{2}=\frac{-130}{2} x_{2}=\frac{-25+105}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №6460: Пусть скорость велосипедиста от города до турбазы \( x \) км/ч, затратил \( \frac{30}{x} \). Обратно ехал 2 ч с той же скоростью, а затем \( x+3 \) км/ч, время на обратный путь \( 2+\frac{30-2x}{x+3} \) и это меньше на 6 минут=\( \frac{1}{10} \). Составляем уравнение: \( \frac{30}{x}-\frac{1}{10}=2+\frac{30-2x}{x+3} \frac{300-x}{10x}=\frac{2x+6+30-2x}{x+3} \frac{300-x}{10x}=\frac{36}{x+3}; (x+3)(300-x)=36*10x 300x-x^{2}+900-3x-360x=0 x\neq 0, x+3\neq 0 -x^{2}+63x+900=0 D=(-63)^{2}-4*(-1)*900=3969+3600=7569=87^{2} x_{1}=\frac{63-87}{-2}=12, x_{2}=\frac{63+87}{-2}=-75 x=12 2+\frac{30-2*12}{12+3}=2+\frac{6}{15}=2\frac{2}{5} \).

Ответ: 2 ч 24 мин

Решение №6463: пусть скорость одного поезда \( x \) км/ч, другого на 12 км/ч больше \( x+12 \) км/ч. Первый был на 30 минут в пути дольше и встретились они на середине пути, т.е. каждый прошел 120 км. Отсюда :\( \frac{120}{x}-\frac{1}{2}=\frac{120}{x+12};\frac{240-x}{2x}=\frac{120}{x+12} 240x=(240-x)(x+12), x(x+12)\neq 0 240x=240x-x^{2}+2880-12x x^{2}+12x+240x-240x-2880=0 x^{2}+12x-2880=0 D=12^{2}-1*1*(-2880)=144+11520=11664=108^{2} x_{1}=\frac{-12+108}{2}=48 x_{2}=\frac{-12-108}{2}=-60 x=48, 48+12=60 \).

Ответ: 60 км /ч

Решение №6465: Пусть предполагал ехать со скоростью \( x \) км/ч,
за 1 час 15 минут проехал \( 1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}x \), фактическая скорость была \( \frac{5}{4}x+1=\frac{5x+4}{4} \). Время по плану \( \frac{96}{x} \), Пусть предполагал ехать со скоростью \( x \) км/ч,
за 1 час 15 минут проехал \( 1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}x \), фактическая скорость была \( \frac{5}{4}x+1=\frac{5x+4}{4} \).
Время по плану \( \frac{96}{x} \), фактически \( 96 : (\frac{5x+4}{4})=\frac{96*4}{5x+4}=\frac{384}{5x+4} \) и это быстрее на 2ч. Составляем уравнение: $$ \frac{96}{x}-2=\frac{384}{5x+4}$$ $$ \frac{96(5x+4)-2x(5x+4)-384x}{x(5x+4)}=0$$ $$ \frac{480x+384-10x^{2}-8x-384x}{x(5x+4)}=0$$ $$ -10x^{2}+88x+384=0 | :(-2)$$ $$ 5x^{2}-44x-192=0$$ $$ D=(-44)^{2}-4*5*(-192)=1936+3840=5776=76^{2}$$ $$ x_{1}=\frac{44-76}{10}=\frac{-32}{10}=-3,2$$ x_{2}=\frac{44+76}{10}=\frac{64}{4}=16 \).фактически \( 96 : (\frac{5x+4}{4})=\frac{96*4}{5x+4}=\frac{384}{5x+4} \) и это быстрее на 2ч. Составляем уравнение: \( \frac{96}{x}-2=\frac{384}{5x+4} \frac{96(5x+4)-2x(5x+4)-384x}{x(5x+4)}=0 \frac{480x+384-10x^{2}-8x-384x}{x(5x+4)}=0 -10x^{2}+88x+384=0 | :(-2) 5x^{2}-44x-192=0 D=(-44)^{2}-4*5*(-192)=1936+3840=5776=76^{2} x_{1}=\frac{44-76}{10}=\frac{-32}{10}=-3,2 x_{2}=\frac{44+76}{10}=\frac{64}{4}=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №6470: Пусть скорость катера в стоячей воде равна \( x \) км/ч, т.к. скорость течения реки равна 3 км/ч, то скорость катера по течению реки равна\( x+3 \) км/ч, а против течения \( x-3 \) км/ч. Время по течению \( \frac{35}{x+3} \)ч, а время против течения \( \frac{35}{x-3} \). Все путешествие заняло 7 ч. \( \frac{35}{x+3}+\frac{35}{x-3}+3=7 \frac{35}{x+3}-\frac{35}{x-3}=4 \frac{35(x-3)+35(x+3)-4(x^{2}-9)}{(x+3)(x-3)}=0 \frac{35x-105+35x+105-4x^{2}+36}{(x+3)(x-3)} -4x^{2}+70x+36=0 | :(-2) (x+3)(x-3)\neq 0 2x^{2}-35x-18=0 D=(-35)^{2}-4*2*(-18)=1225+144=1369=17^{2} x_{1}=\frac{35-37}{2*2}=-\frac{1}{2} x_{2}=\frac{35+37}{4}=18 \).

Ответ: NaN

Решение №7747: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость первого автобуса как \( v_1 = 54 \) км/ч.
2. Обозначим скорость второго автобуса как \( v_2 \).
3. Из условия задачи известно, что \( v_1 = 0.6 \cdot v_2 \).
4. Решим уравнение для \( v_2 \): \[ 54 = 0.6 \cdot v_2 \implies v_2 = \frac{54}{0.6} = 90 \text{ км/ч} \]
5. Второй автобус догнал первый через 1 час 30 минут, что составляет 1.5 часа.
6. За 1.5 часа первый автобус проехал расстояние: \[ S_1 = v_1 \cdot 1.5 = 54 \cdot 1.5 = 81 \text{ км} \]
7. За 1.5 часа второй автобус проехал расстояние: \[ S_2 = v_2 \cdot 1.5 = 90 \cdot 1.5 = 135 \text{ км} \]
8. За 2 часа первый автобус проехал расстояние: \[ S_1' = v_1 \cdot 2 = 54 \cdot 2 = 108 \text{ км} \]
9. За 2 часа второй автобус проехал расстояние: \[ S_2' = v_2 \cdot 2 = 90 \cdot 2 = 180 \text{ км} \]
10. Расстояние между автобусами через 2 часа после выезда: \[ \Delta S = S_2' - S_1' = 180 - 108 = 72 \text{ км} \]

Ответ: 18

Решение №7749: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим время, прошедшее с момента выезда велосипедиста до 6 часов вечера:
   • Велосипедист выехал в 8 часов утра.
   • 6 часов вечера — это 18 часов.
   • Таким образом, прошло \(18 - 8 = 10\) часов.
2. Определим расстояние, которое проехал велосипедист за 10 часов:
   • Скорость велосипедиста: 20 км/ч.
   • Время в пути: 10 часов.
   • Расстояние: \(20 \, \text{км/ч} \times 10 \, \text{часов} = 200 \, \text{км}\).
3. Определим время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста до 6 часов вечера:
   • Мотоциклист выехал в 12 часов дня.
   • 6 часов вечера — это 18 часов.
   • Таким образом, прошло \(18 - 12 = 6\) часов.
4. Определим расстояние, которое проехал мотоциклист за 6 часов:
   • Скорость мотоциклиста: 50 км/ч.
   • Время в пути: 6 часов.
   • Расстояние: \(50 \, \text{км/ч} \times 6 \, \text{часов} = 300 \, \text{км}\).
5. Вычтем расстояние, которое проехал велосипедист, из расстояния, которое проехал мотоциклист:
   • Расстояние, которое проехал мотоциклист: 300 км.
   • Расстояние, которое проехал велосипедист: 200 км.
   • Разница: \(300 \, \text{км} - 200 \, \text{км} = 100 \, \text{км}\).

Ответ: 120

Решение №7753: Для решения задачи определим, на каком расстоянии от точки отправления произойдет встреча двух человек. Выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние до опушки леса как \(d = 3,5\) км.
2. Обозначим скорость первого человека как \(v_1 = 2,7\) км/ч.
3. Обозначим скорость второго человека как \(v_2 = 3,6\) км/ч.
4. Обозначим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса, как \(t_2\).
5. Обозначим время, за которое первый человек дойдет до точки встречи, как \(t_1\).
6. Обозначим расстояние от точки отправления до точки встречи как \(s\).

1. Вычислим время \(t_2\), за которое второй человек дойдет до опушки леса: \[ t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{3,5}{3,6} \approx 0,9722 \text{ часа} \]
2. Вычислим расстояние, которое пройдет первый человек за это время: \[ s_1 = v_1 \cdot t_2 = 2,7 \cdot 0,9722 \approx 2,625 \text{ км} \]
3. Поскольку второй человек возвращается обратно с той же скоростью, время \(t_1\), за которое первый человек дойдет до точки встречи, будет равно времени \(t_2\).
4. Таким образом, расстояние от точки отправления до точки встречи будет: \[ s = s_1 \approx 2,625 \text{ км} \]

Ответ: 3