Решение №15974: Для решения уравнения \(\log_{2}(2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4 \]
2. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: \[ 4 = 2^2 \]
3. Подставим \(2^2\) вместо 4 в уравнение: \[ \log_{2}(2 \cdot (2^2)^{x-2} - 1) = 2x - 4 \]
4. Упростим выражение \((2^2)^{x-2}\): \[ (2^2)^{x-2} = 2^{2(x-2)} = 2^{2x-4} \]
5. Подставим \(2^{2x-4}\) в уравнение: \[ \log_{2}(2 \cdot 2^{2x-4} - 1) = 2x - 4 \]
6. Упростим выражение \(2 \cdot 2^{2x-4}\): \[ 2 \cdot 2^{2x-4} = 2^{1 + 2x-4} = 2^{2x-3} \]
7. Подставим \(2^{2x-3}\) в уравнение: \[ \log_{2}(2^{2x-3} - 1) = 2x - 4 \]
8. Рассмотрим уравнение \(\log_{2}(2^{2x-3} - 1) = 2x - 4\): \[ 2^{2x-3} - 1 = 2^{2x-4} \]
9. Упростим уравнение: \[ 2^{2x-3} - 1 = 2^{2x-4} \] \[ 2^{2x-3} - 2^{2x-4} = 1 \]
10. Вынесем общий множитель \(2^{2x-4}\): \[ 2^{2x-4} \cdot (2 - 1) = 1 \] \[ 2^{2x-4} = 1 \]
11. Решим уравнение \(2^{2x-4} = 1\): Поскольку \(2^0 = 1\), получаем: \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

Ответ: 2

Решение №16002: Для решения уравнения \( \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \]
2. Вычислим значение \(\log_{5}0.2\): \[ \log_{5}0.2 = \log_{5}\left(\frac{1}{5}\right) = -1 \]
3. Подставим значение \(\log_{5}0.2\) в уравнение: \[ \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right) = -1 \]
4. Используем свойство логарифмов \(\log_{a}b = c \Rightarrow a^c = b\): \[ 3^{-1} = 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \]
5. Упростим выражение: \[ \frac{1}{3} = 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \]
6. Вычтем \(\frac{2}{9}\) из обеих частей уравнения: \[ \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \]
8. Упростим выражение: \[ \frac{1}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \]
9. Представим \(\frac{1}{9}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \]
10. Приравняем показатели степеней: \[ x^{2}-13x+28 = -2 \]
11. Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^{2}-13x+30 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \]
13. Вычислим дискриминант: \[ 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 \]
14. Вычислим корни уравнения: \[ x = \frac{13 \pm 7}{2} \]
15. Найдем два решения: \[ x = \frac{13 + 7}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x = \frac{13 - 7}{2} = 3 \]

Ответ: {3;10}

Решение №16003: Для решения уравнения \( \log_{x+1}(x^2 + 8x + 37) = 2 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{x+1}(x^2 + 8x + 37) = 2 \]
2. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+1)^2 = x^2 + 8x + 37 \]
3. Раскроем скобки в левой части уравнения: \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
4. Подставим это выражение в уравнение: \[ x^2 + 2x + 1 = x^2 + 8x + 37 \]
5. Упростим уравнение, вычтя \(x^2\) из обеих частей: \[ 2x + 1 = 8x + 37 \]
6. Перенесем все \(x\) в одну сторону уравнения: \[ 2x + 1 - 8x - 37 = 0 \] \[ -6x - 36 = 0 \]
7. Решим уравнение для \(x\): \[ -6x = 36 \] \[ x = -6 \]
8. Проверим, удовлетворяет ли \(x = -6\) исходному уравнению: \[ \log_{-6+1}((-6)^2 + 8(-6) + 37) = 2 \] \[ \log_{-5}(36 - 48 + 37) = 2 \] \[ \log_{-5}(25) = 2 \]
9. Проверим, является ли \(\log_{-5}(25) = 2\) верным: \[ (-5)^2 = 25 \] \[ 25 = 25 \] \[ \log_{-5}(25) = 2 \]

Ответ: \varnothing

Решение №16004: Для решения уравнения \( \log_{x+2} x^2 - x - 13 = 1 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{x+2} x^2 - x - 13 = 1 \]
2. Перенесем \(x + 13\) в правую часть уравнения: \[ \log_{x+2} x^2 = x + 14 \]
3. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+2)^{x+14} = x^2 \]
4. Рассмотрим возможные значения \(x\), чтобы удовлетворить уравнение. Для этого проверим простые значения \(x\):
   • При \(x = 2\): \[ (2+2)^16 = 2^2 \implies 4^{16} = 4 \] Это неверно, так как \(4^{16} \neq 4\).
   • При \(x = 3\): \[ (3+2)^17 = 3^2 \implies 5^{17} = 9 \] Это неверно, так как \(5^{17} \neq 9\).
   • При \(x = 4\): \[ (4+2)^18 = 4^2 \implies 6^{18} = 16 \] Это неверно, так как \(6^{18} \neq 16\).
   • При \(x = 5\): \[ (5+2)^19 = 5^2 \implies 7^{19} = 25 \] Это неверно, так как \(7^{19} \neq 25\).
   • При \(x = 6\): \[ (6+2)^20 = 6^2 \implies 8^{20} = 36 \] Это неверно, так как \(8^{20} \neq 36\).
   • При \(x = 7\): \[ (7+2)^21 = 7^2 \implies 9^{21} = 49 \] Это неверно, так как \(9^{21} \neq 49\).
   • При \(x = 8\): \[ (8+2)^22 = 8^2 \implies 10^{22} = 64 \] Это неверно, так как \(10^{22} \neq 64\).
5. Проверим более сложные значения \(x\):
   • При \(x = 1\): \[ (1+2)^15 = 1^2 \implies 3^{15} = 1 \] Это неверно, так как \(3^{15} \neq 1\).
   • При \(x = 0\): \[ (0+2)^14 = 0^2 \implies 2^{14} = 0 \] Это неверно, так как \(2^{14} \neq 0\).
6. Проверим отрицательные значения \(x\):
   • При \(x = -1\): \[ (-1+2)^13 = (-1)^2 \implies 1^{13} = 1 \] Это верно, так как \(1^{13} = 1\).
7. Таким образом, решение уравнения \( \log_{x+2} x^2 - x - 13 = 1 \) есть \(x = -1\).

Ответ: 5

Решение №16005: Для решения уравнения \(\log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2 \]
2. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+2)^2 = 2x^2 - 4x + 11 \]
3. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ x^2 + 4x + 4 = 2x^2 - 4x + 11 \]
4. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x - 11 = 0 \]
5. Упростим уравнение: \[ -x^2 + 8x - 7 = 0 \] или \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 8x + 7 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -8\), и \(c = 7\).
7. Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} \]
8. Упростим подкоренное выражение: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} \]
9. Вычислим корень: \[ x = \frac{8 \pm 6}{2} \]
10. Получим два решения: \[ x = \frac{8 + 6}{2} = 7 \] и \[ x = \frac{8 - 6}{2} = 1 \]
11. Проверим решения на область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: \[ \log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) \] Для \(x = 7\): \[ \log_{9}(2 \cdot 7^2 - 4 \cdot 7 + 11) = \log_{9}(98 - 28 + 11) = \log_{9}(81) = 2 \] Для \(x = 1\): \[ \log_{3}(2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 11) = \log_{3}(2 - 4 + 11) = \log_{3}(9) = 2 \]

Ответ: 7

Решение №16006: Решение уравнения \( \log_{\frac{1}{4-3x}}(10x^2 - 23x + 14) = -2 \) выполним следующими шагами:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{\frac{1}{4-3x}}(10x^2 - 23x + 14) = -2 \]
2. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ \left(\frac{1}{4-3x}\right)^{-2} = 10x^2 - 23x + 14 \]
3. Упростим экспоненциальное выражение: \[ (4-3x)^2 = 10x^2 - 23x + 14 \]
4. Раскроем скобки: \[ (4-3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2 \]
5. Приравняем правую часть уравнения: \[ 16 - 24x + 9x^2 = 10x^2 - 23x + 14 \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 9x^2 - 24x + 16 = 10x^2 - 23x + 14 \] \[ 0 = x^2 + x - 2 \]
7. Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \, b = 1, \, c = -2 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \, x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
8. Проверим найденные корни на условие \( 4 - 3x > 0 \): \[ 4 - 3 \cdot 1 = 1 > 0 \quad \text{(подходит)} \] \[ 4 - 3 \cdot (-2) = 10 > 0 \quad \text{(подходит)} \]
9. Проверим найденные корни на условие \( 10x^2 - 23x + 14 > 0 \): \[ 10 \cdot 1^2 - 23 \cdot 1 + 14 = 1 \quad \text{(не подходит)} \] \[ 10 \cdot (-2)^2 - 23 \cdot (-2) + 14 = 40 + 46 + 14 = 100 > 0 \quad \text{(подходит)} \]
10. Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = -2 \]

Ответ: -2

Решение №16007: Для решения уравнения \( \log_{2}(3x^{2}-x-4) = \log_{2}(1-3x) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(3x^{2}-x-4) = \log_{2}(1-3x) \]
2. Поскольку логарифмы равны, их аргументы должны быть равны. Получим уравнение: \[ 3x^{2}-x-4 = 1-3x \]
3. Приведём подобные члены: \[ 3x^{2}-x-4 = 1-3x \] \[ 3x^{2} - x + 3x - 4 = 1 \] \[ 3x^{2} + 2x - 4 = 1 \] \[ 3x^{2} + 2x - 5 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение: \[ 3x^{2} + 2x - 5 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 3 \), \( b = 2 \), и \( c = -5 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 8}{6} \] Получаем два решения: \[ x_1 = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]
5. Проверим, удовлетворяют ли найденные решения исходному уравнению:
   • Для \( x = 1 \): \[ \log_{2}(3 \cdot 1^{2} - 1 - 4) = \log_{2}(1 - 3 \cdot 1) \] \[ \log_{2}(3 - 1 - 4) = \log_{2}(1 - 3) \] \[ \log_{2}(-2) \quad \text{(не определено)} \] Это решение не удовлетворяет уравнению, так как логарифм отрицательного числа не определен.
   • Для \( x = -\frac{5}{3} \): \[ \log_{2}(3 \left(-\frac{5}{3}\right)^{2} - \left(-\frac{5}{3}\right) - 4) = \log_{2}(1 - 3 \left(-\frac{5}{3}\right)) \] \[ \log_{2}\left(3 \cdot \frac{25}{9} + \frac{5}{3} - 4\right) = \log_{2}\left(1 + 5\right) \] \[ \log_{2}\left(\frac{75}{9} + \frac{15}{9} - \frac{36}{9}\right) = \log_{2}(6) \] \[ \log_{2}\left(\frac{54}{9}\right) = \log_{2}(6) \] \[ \log_{2}(6) = \log_{2}(6) \] Это решение удовлетворяет уравнению.

Ответ: -0.8333333333333334

Решение №16008: Для решения уравнения \(\log_{1/3}(x^2 + 4x - 3) = \log_{1/3}(3x - 1)\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{1/3}(x^2 + 4x - 3) = \log_{1/3}(3x - 1) \]
2. Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями равны, приравняем их аргументы: \[ x^2 + 4x - 3 = 3x - 1 \]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 4x - 3 - 3x + 1 = 0 \]
4. Упростим уравнение: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\). Для этого найдем корни уравнения, используя формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
6. Рассчитаем два возможных решения: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
7. Проверим, удовлетворяют ли найденные решения условиям задачи. Для этого подставим \(x = 1\) и \(x = -2\) в исходное уравнение: \[ \log_{1/3}(1^2 + 4 \cdot 1 - 3) = \log_{1/3}(3 \cdot 1 - 1) \] \[ \log_{1/3}(1 + 4 - 3) = \log_{1/3}(3 - 1) \] \[ \log_{1/3}(2) = \log_{1/3}(2) \] Это верно, значит \(x = 1\) является решением. \[ \log_{1/3}((-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 3) = \log_{1/3}(3 \cdot (-2) - 1) \] \[ \log_{1/3}(4 - 8 - 3) = \log_{1/3}(-6 - 1) \] \[ \log_{1/3}(-7) = \log_{1/3}(-7) \] Это также верно, значит \(x = -2\) является решением.
8. Таким образом, решения уравнения \(\log_{1/3}(x^2 + 4x - 3) = \log_{1/3}(3x - 1)\) есть \(x = 1\) и \(x = -2\).

Ответ: 1

Решение №16009: Для решения уравнения \(\log_{\pi}(2x^2 + x - 7) = \log_{\pi}(2x + 3)\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{\pi}(2x^2 + x - 7) = \log_{\pi}(2x + 3) \]
2. Используем свойство логарифмов, согласно которому если \(\log_a(b) = \log_a(c)\), то \(b = c\): \[ 2x^2 + x - 7 = 2x + 3 \]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 2x^2 + x - 7 - 2x - 3 = 0 \]
4. Упростим уравнение: \[ 2x^2 - x - 10 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение \(2x^2 - x - 10 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = -1\) и \(c = -10\): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 9}{4} \]
6. Найдем два решения: \[ x_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] \[ x_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]
7. Проверим, удовлетворяют ли найденные решения условиям задачи. Для этого убедимся, что аргументы логарифмов положительны: \[ 2x + 3 > 0 \quad \text{и} \quad 2x^2 + x - 7 > 0 \] Для \(x = 2.5\): \[ 2(2.5) + 3 = 5 + 3 = 8 > 0 \] \[ 2(2.5)^2 + 2.5 - 7 = 2(6.25) + 2.5 - 7 = 12.5 + 2.5 - 7 = 8 > 0 \] Для \(x = -2\): \[ 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \not> 0 \] Таким образом, \(x = -2\) не удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 2.5

Решение №16010: Для решения уравнения \( \log_{9}(x^{2}+2x-11) = \log_{9}(2x-8) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{9}(x^{2}+2x-11) = \log_{9}(2x-8) \]
2. Приравняем аргументы логарифмов, так как основания логарифмов одинаковые: \[ x^{2}+2x-11 = 2x-8 \]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^{2}+2x-11 - 2x + 8 = 0 \]
4. Упростим уравнение: \[ x^{2} - 3 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение: \[ x^{2} = 3 \]
6. Найдем корни уравнения: \[ x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3} \]
7. Проверим найденные решения на допустимость:
   • Для \( x = \sqrt{3} \): \[ 2x - 8 = 2\sqrt{3} - 8 < 0 \] Логарифм от отрицательного числа не существует, поэтому \( x = \sqrt{3} \) не подходит.
   • Для \( x = -\sqrt{3} \): \[ 2x - 8 = -2\sqrt{3} - 8 < 0 \] Логарифм от отрицательного числа не существует, поэтому \( x = -\sqrt{3} \) не подходит.
8. Таким образом, уравнение не имеет решений.

Ответ: 25/3

Решение №16011: Для решения уравнения \(\log_{25}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}(1 - 2x)\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{25}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}(1 - 2x) \]
2. Перепишем логарифмы с одинаковым основанием. Заметим, что \(25 = 5^2\), поэтому: \[ \log_{25}(a) = \frac{\log_{5}(a)}{\log_{5}(25)} = \frac{\log_{5}(a)}{2} \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \frac{\log_{5}(4x - x^2 + 5)}{2} = \log_{5}(1 - 2x) \]
3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[ \log_{5}(4x - x^2 + 5) = 2 \log_{5}(1 - 2x) \]
4. Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b)\): \[ \log_{5}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}((1 - 2x)^2) \]
5. Приравняем аргументы логарифмов, так как логарифмы равны: \[ 4x - x^2 + 5 = (1 - 2x)^2 \]
6. Развернем скобки: \[ 4x - x^2 + 5 = 1 - 4x + 4x^2 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 4x - x^2 + 5 - 1 + 4x - 4x^2 = 0 \] Упростим: \[ -5x^2 + 8x + 4 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ 5x^2 - 8x - 4 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = -4\): \[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4)}}{2 \cdot 5} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{10} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{10} \] \[ x = \frac{8 \pm 12}{10} \] Получаем два решения: \[ x_1 = \frac{8 + 12}{10} = 2 \] \[ x_2 = \frac{8 - 12}{10} = -0.4 \]
9. Проверим решения на допустимость. Оба решения должны удовлетворять условиям логарифмов: \[ 4x - x^2 + 5 > 0 \quad \text{и} \quad 1 - 2x > 0 \] Для \(x = 2\): \[ 4 \cdot 2 - 2^2 + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 > 0 \] \[ 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \not> 0 \] Для \(x = -0.4\): \[ 4 \cdot (-0.4) - (-0.4)^2 + 5 = -1.6 - 0.16 + 5 = 3.24 > 0 \] \[ 1 - 2 \cdot (-0.4) = 1 + 0.8 = 1.8 > 0 \] Таким образом, \(x = 2\) не подходит, а \(x = -0.4\) подходит.

Ответ: -0.4

Решение №16012: Для решения уравнения \(\log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x)\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x) \]
2. Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b) = \log_{1/a}(1/b)\): \[ \log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x) \] Это эквивалентно: \[ \log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x) \]
3. Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b) = -\log_{1/a}(b)\): \[ \log_{3}(2x-3) = -\log_{3}(3-x) \]
4. Приравняем аргументы логарифмов: \[ 2x-3 = \frac{1}{3-x} \]
5. Перемножим обе части уравнения на \((3-x)\): \[ (2x-3)(3-x) = 1 \]
6. Раскроем скобки: \[ 6x - 3x^2 - 9 + 3x = 1 \] \[ -3x^2 + 9x - 9 = 1 \] \[ -3x^2 + 9x - 10 = 0 \]
7. Умножим уравнение на \(-1\) для удобства: \[ 3x^2 - 9x + 10 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -9\), \(c = 10\): \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 120}}{6} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{-39}}{6} \]
9. Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: {2;2,5}

Решение №16013: Для решения уравнения \( \log_{2}(x+2) = \log_{1/4}(3x+4) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x+2) = \log_{1/4}(3x+4) \]
2. Перепишем логарифм с основанием \( \frac{1}{4} \) через логарифм с основанием 2. Поскольку \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), используем свойство логарифмов: \[ \log_{1/4}(3x+4) = \frac{\log_{2}(3x+4)}{\log_{2}(1/4)} \]
3. Вычислим \( \log_{2}(1/4) \): \[ \log_{2}(1/4) = \log_{2}(2^{-2}) = -2 \]
4. Подставим результат в уравнение: \[ \log_{2}(x+2) = \frac{\log_{2}(3x+4)}{-2} \]
5. Умножим обе части уравнения на -2: \[ -2 \log_{2}(x+2) = \log_{2}(3x+4) \]
6. Используем свойство логарифмов \( a \log_{b}(c) = \log_{b}(c^a) \): \[ \log_{2}((x+2)^{-2}) = \log_{2}(3x+4) \]
7. Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ (x+2)^{-2} = 3x+4 \]
8. Приравняем выражения: \[ \frac{1}{(x+2)^2} = 3x+4 \]
9. Перепишем уравнение в виде: \[ 1 = (3x+4)(x+2)^2 \]
10. Умножим обе части уравнения на \((x+2)^2\): \[ (x+2)^2 = 1 \]
11. Развернем квадрат: \[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]
12. Получим уравнение: \[ x^2 + 4x + 4 = 1 \]
13. Перенесем 1 в левую часть уравнения: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
14. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
15. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
16. Проверим полученные корни на условия задачи: \[ x+2 > 0 \quad \text{и} \quad 3x+4 > 0 \] Для \( x = -1 \): \[ -1 + 2 = 1 > 0 \quad \text{и} \quad 3(-1) + 4 = 1 > 0 \] Для \( x = -3 \): \[ -3 + 2 = -1 \not> 0 \quad \text{и} \quad 3(-3) + 4 = -5 \not> 0 \]
17. Таким образом, уравнение имеет единственное решение: \[ x = -1 \]

Ответ: -1

Решение №16014: Для решения уравнения \( \log_{3}x - 2\log_{1/3}x = 6 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}x - 2\log_{1/3}x = 6 \]
2. Используем свойство логарифмов: \( \log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b) \). В нашем случае: \[ \log_{1/3}x = \log_{3^{-1}}x = -\log_{3}x \]
3. Подставим \( \log_{1/3}x \) в уравнение: \[ \log_{3}x - 2(-\log_{3}x) = 6 \]
4. Упростим выражение: \[ \log_{3}x + 2\log_{3}x = 6 \]
5. Объединим подобные члены: \[ 3\log_{3}x = 6 \]
6. Разделим обе части уравнения на 3: \[ \log_{3}x = 2 \]
7. Переведем логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму: \[ x = 3^2 \]
8. Вычислим значение \(x\): \[ x = 9 \]

Ответ: 9

Решение №16015: Для решения уравнения \(\log_{2}(3-x) + \log_{2}(1-x) = 3\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(3-x) + \log_{2}(1-x) = 3 \]
2. Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{2}((3-x)(1-x)) = 3 \]
3. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ (3-x)(1-x) = 2^3 \]
4. Вычислим \(2^3\): \[ (3-x)(1-x) = 8 \]
5. Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[ (3-x)(1-x) = 3 - x - 3x + x^2 = x^2 - 4x + 3 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 8 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x - 5 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\): \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]
7. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
8. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям задачи (логарифмы должны быть определены): \[ \log_{2}(3-x) \quad \text{и} \quad \log_{2}(1-x) \] Для \(x = 5\): \[ \log_{2}(3-5) = \log_{2}(-2) \quad \text{(не определено)} \] Для \(x = -1\): \[ \log_{2}(3-(-1)) = \log_{2}(4) \quad \text{(определено)} \] \[ \log_{2}(1-(-1)) = \log_{2}(2) \quad \text{(определено)} \]
9. Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = -1 \]

Ответ: -1

Решение №16016: Для решения уравнения \(\log_{2}x + \log_{2}(x+2) = 3\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}x + \log_{2}(x+2) = 3 \]
2. Используем свойство логарифмов \(\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c)\): \[ \log_{2}(x \cdot (x+2)) = 3 \]
3. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ x \cdot (x+2) = 2^3 \]
4. Вычислим \(2^3\): \[ x \cdot (x+2) = 8 \]
5. Получим квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x = 8 \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
7. Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -8\): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \]
8. Вычислим дискриминант: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
9. Подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \]
10. Вычислим корни: \[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
11. Получим два решения: \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
12. Проверим корни на допустимость (логарифм определен только для положительных чисел): \[ x = 2 \quad \text{(допустимо)} \] \[ x = -4 \quad \text{(недопустимо)} \]

Ответ: 2

Решение №16017: Для решения уравнения \(\log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1 \]
2. Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{6}((x+1)(2x+1)) = 1 \]
3. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+1)(2x+1) = 6^1 \] \[ (x+1)(2x+1) = 6 \]
4. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[ (x+1)(2x+1) = 2x^2 + 3x + 1 = 6 \] \[ 2x^2 + 3x + 1 - 6 = 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) с использованием формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = -5\): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{-3 \pm 7}{4} \]
6. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \]
7. Проверим найденные корни на область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Логарифмы определены только для положительных аргументов: \[ x + 1 > 0 \implies x > -1 \] \[ 2x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{2} \] Таким образом, \(x\) должно быть больше \(-\frac{1}{2}\).
8. Проверим корни: \[ x = 1 \quad \text{(подходит, так как } 1 > -\frac{1}{2}\text{)} \] \[ x = -\frac{5}{2} \quad \text{(не подходит, так как } -\frac{5}{2} < -\frac{1}{2}\text{)} \]

Ответ: 1

Решение №16018: Для решения уравнения \( \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \]
2. Используем свойство логарифмов, что \(\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)\): \[ \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(x(x-2)) \]
3. Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \log_{3}(x(x-2)) = \log_{3}(2x-3) \]
4. Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ x(x-2) = 2x-3 \]
5. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[ x^2 - 2x = 2x - 3 \]
6. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 2x - 2x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
7. Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\) методом факторизации: \[ (x-1)(x-3) = 0 \]
8. Найдем корни уравнения: \[ x-1 = 0 \quad \text{или} \quad x-3 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 3 \]
9. Проверим решения на допустимость. Для логарифмов \(x > 0\) и \(x-2 > 0\): \[ x = 1 \quad \text{не подходит, так как} \quad 1-2 < 0 \] \[ x = 3 \quad \text{подходит, так как} \quad 3-2 > 0 \]

Ответ: 3

Решение №16019: Для решения уравнения \( \lg(x+4) + \lg(x+3) = \lg(1-2x) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \lg(x+4) + \lg(2x+3) = \lg(1-2x) \]
2. Используем свойство логарифмов, что логарифм произведения равен сумме логарифмов: \[ \lg((x+4)(2x+3)) = \lg(1-2x) \]
3. Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ (x+4)(2x+3) = 1-2x \]
4. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \[ (x+4)(2x+3) = 2x^2 + 3x + 8x + 12 = 2x^2 + 11x + 12 \] \[ 2x^2 + 11x + 12 = 1 - 2x \]
5. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 2x^2 + 11x + 12 - 1 + 2x = 0 \] \[ 2x^2 + 13x + 11 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 13x + 11 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = 13\), \(c = 11\): \[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 88}}{4} \] \[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ x = \frac{-13 \pm 9}{4} \]
7. Найдем два возможных решения: \[ x_1 = \frac{-13 + 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-13 - 9}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2} \]
8. Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: \[ x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4 \] \[ 2x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{3}{2} \] \[ 1 - 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{1}{2} \]
9. Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ: \[ x_1 = -1 \quad \text{не удовлетворяет условию} \quad x > -\frac{3}{2} \] \[ x_2 = -\frac{11}{2} \quad \text{не удовлетворяет условию} \quad x > -4 \]

Ответ: -1

Решение №16020: Для решения уравнения \( \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x+1) = 3 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x+1) = 3 \]
2. Используем свойство логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{2}((x-1)(x+1)) = 3 \]
3. Перепишем выражение внутри логарифма: \[ \log_{2}(x^2 - 1) = 3 \]
4. Перейдем от логарифмической формы к экспоненциальной: \[ x^2 - 1 = 2^3 \]
5. Вычислим \(2^3\): \[ x^2 - 1 = 8 \]
6. Решим уравнение \(x^2 - 1 = 8\): \[ x^2 = 9 \]
7. Возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: \[ x = \pm 3 \]
8. Учтем ограничения для логарифмов: \(x - 1 > 0\) и \(x + 1 > 0\). Это означает, что \(x > 1\).
9. Исключим \(x = -3\), так как оно не удовлетворяет условию \(x > 1\).
10. Оставляем \(x = 3\) как единственное решение.

Ответ: 3

Решение №16021: Для решения уравнения \( \lg(x^{3}+1) - \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg3 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \lg(x^{3}+1) - \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg3 \]
2. Используем свойство логарифмов: \(a \lg b = \lg(b^a)\). Применим его к выражению \(\frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1)\): \[ \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg \left( \sqrt{x^{2}+2x+1} \right) \]
3. Подставим это в уравнение: \[ \lg(x^{3}+1) - \lg \left( \sqrt{x^{2}+2x+1} \right) = \lg3 \]
4. Используем свойство логарифмов: \(\lg a - \lg b = \lg \left( \frac{a}{b} \right)\): \[ \lg \left( \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}} \right) = \lg3 \]
5. Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}} = 3 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{x^{2}+2x+1}\): \[ x^{3}+1 = 3 \sqrt{x^{2}+2x+1} \]
7. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (x^{3}+1)^2 = 9 (x^{2}+2x+1) \]
8. Раскроем скобки: \[ x^{6} + 2x^{3} + 1 = 9x^{2} + 18x + 9 \]
9. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^{6} + 2x^{3} + 1 - 9x^{2} - 18x - 9 = 0 \]
10. Упростим уравнение: \[ x^{6} + 2x^{3} - 9x^{2} - 18x - 8 = 0 \]
11. Рассмотрим возможные решения. Заметим, что \(x = 1\) является решением, так как: \[ 1^{6} + 2 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} - 18 \cdot 1 - 8 = 1 + 2 - 9 - 18 - 8 = -32 + 32 = 0 \]
12. Проверим, являются ли другие решения возможными. Для этого можно использовать численные методы или графический анализ, но в рамках данного решения мы уже нашли одно корректное решение \(x = 1\).

Ответ: 2

Решение №16022: Для решения уравнения \( \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \]
2. Используем свойство логарифмов, что \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\): \[ \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - \log_{2}2 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \]
3. Применим свойство логарифмов: \[ \log_{2}\frac{x-2}{2(x-1)} = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \]
4. Поскольку логарифмы равны, их аргументы также должны быть равны: \[ \frac{x-2}{2(x-1)} = \frac{3x-7}{3x-1} \]
5. Перекрестное умножение для упрощения дроби: \[ (x-2)(3x-1) = (3x-7)(2(x-1)) \]
6. Раскроем скобки: \[ (x-2)(3x-1) = 3x^2 - x - 6x + 2 \] \[ (3x-7)(2x-2) = 6x^2 - 6x - 14x + 14 \]
7. Упростим выражения: \[ 3x^2 - 7x + 2 = 6x^2 - 20x + 14 \]
8. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3x^2 - 7x + 2 - 6x^2 + 20x - 14 = 0 \]
9. Упростим уравнение: \[ -3x^2 + 13x - 12 = 0 \]
10. Умножим все члены на -1 для удобства: \[ 3x^2 - 13x + 12 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 \]
12. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 5}{6} \]
13. Получим два решения: \[ x_1 = \frac{13 + 5}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{13 - 5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
14. Проверим полученные решения на допустимость в исходном уравнении: \[ x_1 = 3 \] \[ \log_{2}\frac{3-2}{3-1} - 1 = \log_{2}\frac{3 \cdot 3 - 7}{3 \cdot 3 - 1} \] \[ \log_{2}\frac{1}{2} - 1 = \log_{2}\frac{2}{8} \] \[ -1 - 1 = -2 \] \[ -2 = -2 \quad \text{(верно)} \] \[ x_2 = \frac{4}{3} \] \[ \log_{2}\frac{\frac{4}{3}-2}{\frac{4}{3}-1} - 1 = \log_{2}\frac{3 \cdot \frac{4}{3} - 7}{3 \cdot \frac{4}{3} - 1} \] \[ \log_{2}\frac{\frac{4}{3}-\frac{6}{3}}{\frac{4}{3}-\frac{3}{3}} - 1 = \log_{2}\frac{4 - 7}{4 - 3} \] \[ \log_{2}\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} - 1 = \log_{2}\frac{-3}{1} \] \[ \log_{2}(-2) - 1 = \log_{2}(-3) \] \[ \text{(неверно, так как логарифм от отрицательного числа не определен)} \]

Ответ: 3

Решение №16023: Для решения уравнения \(2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1 \]
2. Введем обозначение для логарифмов: \[ \log_{2} \frac{x-7}{x-1} = a \quad \text{и} \quad \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = b \]
3. Запишем уравнение с новыми обозначениями: \[ 2a + b = 1 \]
4. Используем свойство логарифмов для сложения: \[ \log_{2} \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1 \]
5. Объединим логарифмы: \[ \log_{2} \left( \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{x-1}{x+1} \right) = 1 \]
6. Упростим выражение внутри логарифма: \[ \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{x-1}{x+1} = 2 \]
7. Умножим и упростим дроби: \[ \frac{(x-7)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1} = 2 \]
8. Сократим \((x-1)\): \[ \frac{(x-7)^2}{(x-1)(x+1)} = 2 \]
9. Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\): \[ (x-7)^2 = 2(x-1)(x+1) \]
10. Раскроем скобки: \[ x^2 - 14x + 49 = 2(x^2 - 1) \]
11. Упростим выражение: \[ x^2 - 14x + 49 = 2x^2 - 2 \]
12. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 14x + 49 - 2x^2 + 2 = 0 \]
13. Упростим выражение: \[ -x^2 - 14x + 51 = 0 \]
14. Умножим все члены на -1: \[ x^2 + 14x - 51 = 0 \]
15. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)}}{2 \cdot 1} \]
16. Вычислим дискриминант: \[ \Delta = 14^2 + 4 \cdot 51 = 196 + 204 = 400 \]
17. Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-14 \pm 20}{2} \]
18. Рассчитаем значения \(x\): \[ x_1 = \frac{-14 + 20}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14 - 20}{2} = -17 \]
19. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи: \[ \text{Для } x = 3: \quad \frac{3-7}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2 \quad (\text{допустимо}) \] \[ \text{Для } x = -17: \quad \frac{-17-7}{-17-1} = \frac{-24}{-18} = \frac{4}{3} \quad (\text{допустимо}) \]

Ответ: -17

Решение №16024: Для решения уравнения \( \log_{3}(5x-2) - 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 1 - \log_{3}4 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{3}(5x-2) - 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 1 - \log_{3}4 \]
2. Используем свойство логарифмов \( \log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b) \) для упрощения \( 2\log_{3}\sqrt{3x+1} \): \[ 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{3}(3x+1) = \log_{3}(3x+1) \]
3. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \log_{3}(5x-2) - \log_{3}(3x+1) = 1 - \log_{3}4 \]
4. Используем свойство логарифмов \( \log_{a}(b) - \log_{a}(c) = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right) \): \[ \log_{3}\left(\frac{5x-2}{3x+1}\right) = 1 - \log_{3}4 \]
5. Используем свойство логарифмов \( a - \log_{b}(c) = \log_{b}\left(\frac{b^a}{c}\right) \): \[ 1 - \log_{3}4 = \log_{3}\left(\frac{3}{4}\right) \]
6. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \log_{3}\left(\frac{5x-2}{3x+1}\right) = \log_{3}\left(\frac{3}{4}\right) \]
7. Поскольку логарифмы равны, приравняем аргументы логарифмов: \[ \frac{5x-2}{3x+1} = \frac{3}{4} \]
8. Решим уравнение: \[ 4(5x-2) = 3(3x+1) \] \[ 20x - 8 = 9x + 3 \] \[ 20x - 9x = 3 + 8 \] \[ 11x = 11 \] \[ x = 1 \]
9. Проверим, удовлетворяет ли \( x = 1 \) условиям задачи: \[ 5x - 2 > 0 \quad \text{и} \quad 3x + 1 > 0 \] \[ 5(1) - 2 = 3 > 0 \quad \text{и} \quad 3(1) + 1 = 4 > 0 \]

Ответ: 1

Решение №16025: Для решения уравнения \( \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg 50 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg 50 \]
2. Представим число 50 в виде произведения степеней 10: \[ 50 = 10^2 \cdot \frac{1}{2} \]
3. Подставим \( \lg 50 \) в уравнение: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg(10^2 \cdot \frac{1}{2}) \]
4. Упростим логарифм: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - (\lg 10^2 + \lg \frac{1}{2}) \]
5. Подставим значения логарифмов: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - (2 + \lg \frac{1}{2}) \]
6. Упростим выражение: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - 2 - \lg \frac{1}{2} \]
7. Упростим дальше: \[ \lg(3x-2) = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg \frac{1}{2} \]
8. Умножим обе части уравнения на 2: \[ 2 \lg(3x-2) = \lg(x+2) - 2 \lg \frac{1}{2} \]
9. Упростим: \[ 2 \lg(3x-2) = \lg(x+2) + \lg 2 \]
10. Объединим логарифмы: \[ 2 \lg(3x-2) = \lg(2(x+2)) \]
11. Упростим: \[ \lg((3x-2)^2) = \lg(2(x+2)) \]
12. Приравняем аргументы логарифмов: \[ (3x-2)^2 = 2(x+2) \]
13. Раскроем скобки: \[ 9x^2 - 12x + 4 = 2x + 4 \]
14. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 9x^2 - 14x = 0 \]
15. Вынесем \(x\) за скобку: \[ x(9x - 14) = 0 \]
16. Решим уравнение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 9x - 14 = 0 \]
17. Решим второе уравнение: \[ 9x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{14}{9} \]
18. Проверим решения: \[ \text{Для } x = 0: \quad \lg(-2) \text{ не определено, решение не подходит.} \] \[ \text{Для } x = \frac{14}{9}: \quad \lg\left(3 \cdot \frac{14}{9} - 2\right) - 2 = \frac{1}{2} \lg\left(\frac{14}{9} + 2\right) - \lg 50 \]
19. Упростим и проверим: \[ \lg\left(\frac{14}{3} - 2\right) - 2 = \frac{1}{2} \lg\left(\frac{32}{9}\right) - \lg 50 \] \[ \lg\left(\frac{8}{3}\right) - 2 = \frac{1}{2} \lg\left(\frac{32}{9}\right) - \lg 50 \] \[ \lg\left(\frac{8}{3}\right) = \lg\left(\frac{8}{3}\right) \]

Ответ: 2

Решение №16026: Для решения уравнения \( \log_{2}182 - 2\log_{2}\sqrt{5-x} = \log_{2}(11-x) + 1 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}182 - 2\log_{2}\sqrt{5-x} = \log_{2}(11-x) + 1 \]
2. Используем свойство логарифмов \( \log_{b}(a^c) = c \log_{b}(a) \) для выражения \( 2\log_{2}\sqrt{5-x} \): \[ 2\log_{2}\sqrt{5-x} = \log_{2}((\sqrt{5-x})^2) = \log_{2}(5-x) \]
3. Подставим \( \log_{2}(5-x) \) в уравнение: \[ \log_{2}182 - \log_{2}(5-x) = \log_{2}(11-x) + 1 \]
4. Используем свойство логарифмов \( \log_{b}(a) - \log_{b}(c) = \log_{b}\left(\frac{a}{c}\right) \): \[ \log_{2}\left(\frac{182}{5-x}\right) = \log_{2}(11-x) + 1 \]
5. Используем свойство логарифмов \( \log_{b}(a) + \log_{b}(c) = \log_{b}(a \cdot c) \): \[ \log_{2}\left(\frac{182}{5-x}\right) = \log_{2}(2 \cdot (11-x)) \]
6. Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ \frac{182}{5-x} = 2 \cdot (11-x) \]
7. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \frac{182}{5-x} = 11-x \]
8. Умножим обе части уравнения на \( 5-x \): \[ 182 = (11-x)(5-x) \]
9. Раскроем скобки: \[ 182 = 55 - 16x + x^2 \]
10. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 16x + 55 - 182 = 0 \] \[ x^2 - 16x - 127 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 16x - 127 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \quad b = -16, \quad c = -127 \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 508}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{764}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm 2\sqrt{191}}{2} \] \[ x = 8 \pm \sqrt{191} \]
12. Проверим допустимость решений. Поскольку логарифмы определены только для положительных аргументов, \( 5-x > 0 \) и \( 11-x > 0 \): \[ x < 5 \quad \text{и} \quad x < 11 \]
13. Проверим \( x = 8 + \sqrt{191} \) и \( x = 8 - \sqrt{191} \): \[ 8 + \sqrt{191} > 5 \quad \text{(не подходит)} \] \[ 8 - \sqrt{191} < 5 \quad \text{(подходит)} \]
14. Таким образом, решение уравнения: \[ x = 8 - \sqrt{191} \]

Ответ: -2

Решение №16027: Для решения уравнения \( \lg(x^3 + 8) - 0.51 \lg(x^2 + 4x + 4) = \lg 7 \) выполним следующие шаги: 1. Запишем уравнение: \[ \lg(x^3 + 8) - 0.51 \lg(x^2 + 4x + 4) = \lg 7 \] 2. Упростим выражение \(\lg(x^2 + 4x + 4)\): \[ \lg(x^2 + 4x + 4) = \lg((x + 2)^2) = 2 \lg(x + 2) \] 3. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \lg(x^3 + 8) - 0.51 \cdot 2 \lg(x + 2) = \lg 7 \] \[ \lg(x^3 + 8) - 1.02 \lg(x + 2) = \lg 7 \] 4. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов: \[ \lg(x^3 + 8) - \lg(x + 2)^{1.02} = \lg 7 \] 5. Приравняем аргументы логарифмов: \[ \lg \left( \frac{x^3 + 8}{(x + 2)^{1.02}} \right) = \lg 7 \] 6. Уберем логарифмы, приравняв аргументы: \[ \frac{x^3 + 8}{(x + 2)^{1.02}} = 7 \] 7. Упростим числитель: \[ x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \] 8. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)^{1.02}} = 7 \] 9. Упростим дробь: \[ \frac{x^2 - 2x + 4}{(x + 2)^{0.02}} = 7 \] 10. Решим уравнение: \[ x^2 - 2x + 4 = 7(x + 2)^{0.02} \] 11. Поскольку уравнение сложно решить аналитически, используем численные методы или графический анализ для нахождения корней. Ответ: \( x \approx 1.5 \) (приближенное решение, требует численных методов для точного нахождения).

Ответ: {-1;3}

Решение №16028: Для решения уравнения \( \log_{2}(x+2)^{2} + \log_{2}(x+10)^{2} = 4 \log_{2}3 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x+2)^{2} + \log_{2}(x+10)^{2} = 4 \log_{2}3 \]
2. Используем свойство логарифмов \(\log_{b}(a^c) = c \log_{b}(a)\): \[ \log_{2}((x+2)^{2}) = 2 \log_{2}(x+2) \] \[ \log_{2}((x+10)^{2}) = 2 \log_{2}(x+10) \]
3. Подставим эти выражения в уравнение: \[ 2 \log_{2}(x+2) + 2 \log_{2}(x+10) = 4 \log_{2}3 \]
4. Вынесем общий множитель 2 за скобки: \[ 2 (\log_{2}(x+2) + \log_{2}(x+10)) = 4 \log_{2}3 \]
5. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \log_{2}(x+2) + \log_{2}(x+10) = 2 \log_{2}3 \]
6. Используем свойство логарифмов \(\log_{b}(a) + \log_{b}(c) = \log_{b}(a \cdot c)\): \[ \log_{2}((x+2)(x+10)) = 2 \log_{2}3 \]
7. Используем свойство логарифмов \(\log_{b}(a^c) = c \log_{b}(a)\) в правой части уравнения: \[ \log_{2}((x+2)(x+10)) = \log_{2}(3^2) \]
8. Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ (x+2)(x+10) = 9 \]
9. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + 12x + 20 = 9 \]
10. Перенесем 9 в левую часть уравнения: \[ x^2 + 12x + 11 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение \(x^2 + 12x + 11 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 12\), и \(c = 11\): \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 44}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm 10}{2} \]
12. Найдем два решения: \[ x = \frac{-12 + 10}{2} = -1 \] \[ x = \frac{-12 - 10}{2} = -11 \]

Ответ: {-11;-1}

Решение №16029: Для решения уравнения \( \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1) \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1) \]
2. Перепишем логарифм с основанием 0.5 через логарифм с основанием 2: \[ \log_{0.5}(x-1) = \frac{\log_{2}(x-1)}{\log_{2}(0.5)} = -\log_{2}(x-1) \] Поскольку \(\log_{2}(0.5) = -1\).
3. Подставим выражение для \(\log_{0.5}(x-1)\) в уравнение: \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 - \log_{2}(x-1) \]
4. Воспользуемся свойством логарифмов: \(\log_{2}(a^b) = b \log_{2}(a)\): \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) \]
5. Упростим выражение: \[ \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) = 5 - \log_{2}(x-1) \]
6. Перепишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x-1) = 5 \]
7. Вынесем общий множитель \(\log_{2}(x-1)\): \[ \log_{2}(x-1) (\log_{2}(x-1)^2 + 1) = 5 \]
8. Рассмотрим два случая:
   • Случай 1: \(\log_{2}(x-1) = 0\)
   • Случай 2: \(\log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)}\)
9. Случай 1: \(\log_{2}(x-1) = 0\): \[ x-1 = 1 \implies x = 2 \]
10. Случай 2: \(\log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)}\):
    1. Перепишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)} \]
    2. Умножим обе части на \(\log_{2}(x-1)\): \[ \log_{2}(x-1)^3 + \log_{2}(x-1) = 5 \]
    3. Введем замену \(y = \log_{2}(x-1)\): \[ y^3 + y = 5 \]
    4. Решим кубическое уравнение \(y^3 + y - 5 = 0\): \[ y = 1 \quad \text{(используя численные методы или графические методы)} \]
    5. Перепишем \(\log_{2}(x-1) = 1\): \[ x-1 = 2 \implies x = 3 \]

Ответ: {2^{-5/4}+1;3}

Решение №16030: Для решения уравнения \( \lg(3x-4)^2 + \lg(3x-4)^2 = 2 \) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \lg(3x-4)^2 + \lg(2x-4)^2 = 2 \]
2. Используем свойство логарифмов: \(\lg(a^b) = b \cdot \lg(a)\). Применим это свойство к каждому слагаемому: \[ 2 \cdot \lg(3x-4) + 2 \cdot \lg(2x-4) = 2 \]
3. Вынесем общий множитель 2 за скобки: \[ 2 (\lg(3x-4) + \lg(2x-4)) = 2 \]
4. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \lg(3x-4) + \lg(2x-4) = 1 \]
5. Используем свойство логарифмов: \(\lg(a) + \lg(b) = \lg(ab)\): \[ \lg((3x-4)(2x-4)) = 1 \]
6. Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (3x-4)(2x-4) = 10 \]
7. Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[ (3x-4)(2x-4) = 6x^2 - 20x + 16 = 10 \]
8. Приведем уравнение к виду \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ 6x^2 - 20x + 16 - 10 = 0 \] \[ 6x^2 - 20x + 6 = 0 \]
9. Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -10\) и \(c = 3\): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm 8}{6} \]
11. Найдем два корня уравнения: \[ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Ответ: {0,5;3}