№16027

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(lg(3x-2)-2=\frac{1}{2}lg(x+2)-lg50\)

Ответ

2

Решение № 16025:

Для решения уравнения \( \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg 50 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg 50 \] </li> <li>Представим число 50 в виде произведения степеней 10: \[ 50 = 10^2 \cdot \frac{1}{2} \] </li> <li>Подставим \( \lg 50 \) в уравнение: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg(10^2 \cdot \frac{1}{2}) \] </li> <li>Упростим логарифм: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - (\lg 10^2 + \lg \frac{1}{2}) \] </li> <li>Подставим значения логарифмов: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - (2 + \lg \frac{1}{2}) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - 2 - \lg \frac{1}{2} \] </li> <li>Упростим дальше: \[ \lg(3x-2) = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg \frac{1}{2} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 2: \[ 2 \lg(3x-2) = \lg(x+2) - 2 \lg \frac{1}{2} \] </li> <li>Упростим: \[ 2 \lg(3x-2) = \lg(x+2) + \lg 2 \] </li> <li>Объединим логарифмы: \[ 2 \lg(3x-2) = \lg(2(x+2)) \] </li> <li>Упростим: \[ \lg((3x-2)^2) = \lg(2(x+2)) \] </li> <li>Приравняем аргументы логарифмов: \[ (3x-2)^2 = 2(x+2) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 9x^2 - 12x + 4 = 2x + 4 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону: \[ 9x^2 - 14x = 0 \] </li> <li>Вынесем \(x\) за скобку: \[ x(9x - 14) = 0 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 9x - 14 = 0 \] </li> <li>Решим второе уравнение: \[ 9x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{14}{9} \] </li> <li>Проверим решения: \[ \text{Для } x = 0: \quad \lg(-2) \text{ не определено, решение не подходит.} \] \[ \text{Для } x = \frac{14}{9}: \quad \lg\left(3 \cdot \frac{14}{9} - 2\right) - 2 = \frac{1}{2} \lg\left(\frac{14}{9} + 2\right) - \lg 50 \] </li> <li>Упростим и проверим: \[ \lg\left(\frac{14}{3} - 2\right) - 2 = \frac{1}{2} \lg\left(\frac{32}{9}\right) - \lg 50 \] \[ \lg\left(\frac{8}{3}\right) - 2 = \frac{1}{2} \lg\left(\frac{32}{9}\right) - \lg 50 \] \[ \lg\left(\frac{8}{3}\right) = \lg\left(\frac{8}{3}\right) \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \lg(3x-2) - 2 = \frac{1}{2} \lg(x+2) - \lg 50 \) есть \( x = \frac{14}{9} \). Ответ: \( \frac{14}{9} \)