№16016

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}x-2log_{1/3}x=6\)

Ответ

9

Решение № 16014:

Для решения уравнения \( \log_{3}x - 2\log_{1/3}x = 6 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{3}x - 2\log_{1/3}x = 6 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов: \( \log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b) \). В нашем случае: \[ \log_{1/3}x = \log_{3^{-1}}x = -\log_{3}x \] </li> <li>Подставим \( \log_{1/3}x \) в уравнение: \[ \log_{3}x - 2(-\log_{3}x) = 6 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \log_{3}x + 2\log_{3}x = 6 \] </li> <li>Объединим подобные члены: \[ 3\log_{3}x = 6 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 3: \[ \log_{3}x = 2 \] </li> <li>Переведем логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму: \[ x = 3^2 \] </li> <li>Вычислим значение \(x\): \[ x = 9 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \log_{3}x - 2\log_{1/3}x = 6 \) есть \( x = 9 \). Ответ: 9