№16032

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(lg(3x-4)^{2}+lg(2x-4)^{2}=2\)

Ответ

{0,5;3}

Решение № 16030:

Для решения уравнения \( \lg(3x-4)^2 + \lg(3x-4)^2 = 2 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \lg(3x-4)^2 + \lg(2x-4)^2 = 2 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов: \(\lg(a^b) = b \cdot \lg(a)\). Применим это свойство к каждому слагаемому: \[ 2 \cdot \lg(3x-4) + 2 \cdot \lg(2x-4) = 2 \] </li> <li>Вынесем общий множитель 2 за скобки: \[ 2 (\lg(3x-4) + \lg(2x-4)) = 2 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ \lg(3x-4) + \lg(2x-4) = 1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов: \(\lg(a) + \lg(b) = \lg(ab)\): \[ \lg((3x-4)(2x-4)) = 1 \] </li> <li>Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (3x-4)(2x-4) = 10 \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[ (3x-4)(2x-4) = 6x^2 - 20x + 16 = 10 \] </li> <li>Приведем уравнение к виду \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ 6x^2 - 20x + 16 - 10 = 0 \] \[ 6x^2 - 20x + 6 = 0 \] </li> <li>Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -10\) и \(c = 3\): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm 8}{6} \] </li> <li>Найдем два корня уравнения: \[ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] </li> </ol> Таким образом, решения уравнения \( \lg(3x-4)^2 + \lg(2x-4)^2 = 2 \) есть \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = \frac{1}{3} \). Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = \frac{1}{3} \)