№16030

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}(x+2)^{2}+log_{2}(x+10)^{2}=4log_{2}3\)

Ответ

{-11;-1}

Решение № 16028:

Для решения уравнения \( \log_{2}(x+2)^{2} + \log_{2}(x+10)^{2} = 4 \log_{2}3 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x+2)^{2} + \log_{2}(x+10)^{2} = 4 \log_{2}3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{b}(a^c) = c \log_{b}(a)\): \[ \log_{2}((x+2)^{2}) = 2 \log_{2}(x+2) \] \[ \log_{2}((x+10)^{2}) = 2 \log_{2}(x+10) \] </li> <li>Подставим эти выражения в уравнение: \[ 2 \log_{2}(x+2) + 2 \log_{2}(x+10) = 4 \log_{2}3 \] </li> <li>Вынесем общий множитель 2 за скобки: \[ 2 (\log_{2}(x+2) + \log_{2}(x+10)) = 4 \log_{2}3 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ \log_{2}(x+2) + \log_{2}(x+10) = 2 \log_{2}3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{b}(a) + \log_{b}(c) = \log_{b}(a \cdot c)\): \[ \log_{2}((x+2)(x+10)) = 2 \log_{2}3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{b}(a^c) = c \log_{b}(a)\) в правой части уравнения: \[ \log_{2}((x+2)(x+10)) = \log_{2}(3^2) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ (x+2)(x+10) = 9 \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + 12x + 20 = 9 \] </li> <li>Перенесем 9 в левую часть уравнения: \[ x^2 + 12x + 11 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(x^2 + 12x + 11 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 12\), и \(c = 11\): \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 44}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm 10}{2} \] </li> <li>Найдем два решения: \[ x = \frac{-12 + 10}{2} = -1 \] \[ x = \frac{-12 - 10}{2} = -11 \] </li> </ol> Таким образом, решения уравнения \( \log_{2}(x+2)^{2} + \log_{2}(x+10)^{2} = 4 \log_{2}3 \) есть \(x = -1\) и \(x = -11\). Ответ: \(x = -1\) или \(x = -11\).