№16026

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}(5x-2)-2log_{3}\sqrt{3x+1}=1-log_{3}4\)

Ответ

1

Решение № 16024:

Для решения уравнения \( \log_{3}(5x-2) - 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 1 - \log_{3}4 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{3}(5x-2) - 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 1 - \log_{3}4 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( \log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b) \) для упрощения \( 2\log_{3}\sqrt{3x+1} \): \[ 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{3}(3x+1) = \log_{3}(3x+1) \] </li> <li>Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \log_{3}(5x-2) - \log_{3}(3x+1) = 1 - \log_{3}4 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( \log_{a}(b) - \log_{a}(c) = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right) \): \[ \log_{3}\left(\frac{5x-2}{3x+1}\right) = 1 - \log_{3}4 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( a - \log_{b}(c) = \log_{b}\left(\frac{b^a}{c}\right) \): \[ 1 - \log_{3}4 = \log_{3}\left(\frac{3}{4}\right) \] </li> <li>Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \log_{3}\left(\frac{5x-2}{3x+1}\right) = \log_{3}\left(\frac{3}{4}\right) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, приравняем аргументы логарифмов: \[ \frac{5x-2}{3x+1} = \frac{3}{4} \] </li> <li>Решим уравнение: \[ 4(5x-2) = 3(3x+1) \] \[ 20x - 8 = 9x + 3 \] \[ 20x - 9x = 3 + 8 \] \[ 11x = 11 \] \[ x = 1 \] </li> <li>Проверим, удовлетворяет ли \( x = 1 \) условиям задачи: \[ 5x - 2 > 0 \quad \text{и} \quad 3x + 1 > 0 \] \[ 5(1) - 2 = 3 > 0 \quad \text{и} \quad 3(1) + 1 = 4 > 0 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \log_{3}(5x-2) - 2\log_{3}\sqrt{3x+1} = 1 - \log_{3}4 \) есть \( x = 1 \). Ответ: 1