№16031

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}^{2}(x-1)^{2}=5+log_{0,5}(x-1)\)

Ответ

{2^{-5/4}+1;3}

Решение № 16029:

Для решения уравнения \( \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1) \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1) \] </li> <li>Перепишем логарифм с основанием 0.5 через логарифм с основанием 2: \[ \log_{0.5}(x-1) = \frac{\log_{2}(x-1)}{\log_{2}(0.5)} = -\log_{2}(x-1) \] Поскольку \(\log_{2}(0.5) = -1\). </li> <li>Подставим выражение для \(\log_{0.5}(x-1)\) в уравнение: \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 - \log_{2}(x-1) \] </li> <li>Воспользуемся свойством логарифмов: \(\log_{2}(a^b) = b \log_{2}(a)\): \[ \log_{2}^{2}(x-1)^{2} = \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) = 5 - \log_{2}(x-1) \] </li> <li>Перепишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1)^2 \cdot \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x-1) = 5 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(\log_{2}(x-1)\): \[ \log_{2}(x-1) (\log_{2}(x-1)^2 + 1) = 5 \] </li> <li>Рассмотрим два случая: <ul> <li>Случай 1: \(\log_{2}(x-1) = 0\)</li> <li>Случай 2: \(\log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)}\)</li> </ul> </li> <li>Случай 1: \(\log_{2}(x-1) = 0\): \[ x-1 = 1 \implies x = 2 \] </li> <li>Случай 2: \(\log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)}\): <ol> <li>Перепишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1)^2 + 1 = \frac{5}{\log_{2}(x-1)} \] </li> <li>Умножим обе части на \(\log_{2}(x-1)\): \[ \log_{2}(x-1)^3 + \log_{2}(x-1) = 5 \] </li> <li>Введем замену \(y = \log_{2}(x-1)\): \[ y^3 + y = 5 \] </li> <li>Решим кубическое уравнение \(y^3 + y - 5 = 0\): \[ y = 1 \quad \text{(используя численные методы или графические методы)} \] </li> <li>Перепишем \(\log_{2}(x-1) = 1\): \[ x-1 = 2 \implies x = 3 \] </li> </ol> </li> </ol> Таким образом, решения уравнения \(\log_{2}^{2}(x-1)^{2} = 5 + \log_{0.5}(x-1)\) есть \(x = 2\) и \(x = 3\). Ответ: \(x = 2\) и \(x = 3\).