№16013

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{25}(4x-x^{2}+5)=log_{5}(1-2x)\)

Ответ

-0.4

Решение № 16011:

Для решения уравнения \(\log_{25}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}(1 - 2x)\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{25}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}(1 - 2x) \] </li> <li>Перепишем логарифмы с одинаковым основанием. Заметим, что \(25 = 5^2\), поэтому: \[ \log_{25}(a) = \frac{\log_{5}(a)}{\log_{5}(25)} = \frac{\log_{5}(a)}{2} \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \frac{\log_{5}(4x - x^2 + 5)}{2} = \log_{5}(1 - 2x) \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя: \[ \log_{5}(4x - x^2 + 5) = 2 \log_{5}(1 - 2x) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b^c) = c \log_{a}(b)\): \[ \log_{5}(4x - x^2 + 5) = \log_{5}((1 - 2x)^2) \] </li> <li>Приравняем аргументы логарифмов, так как логарифмы равны: \[ 4x - x^2 + 5 = (1 - 2x)^2 \] </li> <li>Развернем скобки: \[ 4x - x^2 + 5 = 1 - 4x + 4x^2 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 4x - x^2 + 5 - 1 + 4x - 4x^2 = 0 \] Упростим: \[ -5x^2 + 8x + 4 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ 5x^2 - 8x - 4 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = -4\): \[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4)}}{2 \cdot 5} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{10} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{10} \] \[ x = \frac{8 \pm 12}{10} \] Получаем два решения: \[ x_1 = \frac{8 + 12}{10} = 2 \] \[ x_2 = \frac{8 - 12}{10} = -0.4 \] </li> <li>Проверим решения на допустимость. Оба решения должны удовлетворять условиям логарифмов: \[ 4x - x^2 + 5 > 0 \quad \text{и} \quad 1 - 2x > 0 \] Для \(x = 2\): \[ 4 \cdot 2 - 2^2 + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 > 0 \] \[ 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \not> 0 \] Для \(x = -0.4\): \[ 4 \cdot (-0.4) - (-0.4)^2 + 5 = -1.6 - 0.16 + 5 = 3.24 > 0 \] \[ 1 - 2 \cdot (-0.4) = 1 + 0.8 = 1.8 > 0 \] Таким образом, \(x = 2\) не подходит, а \(x = -0.4\) подходит. </li> </ol> Ответ: \(x = -0.4\).