№16008

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{\frac{1}{4-3x}}10x^{2}-23x+14=-2\)

Ответ

-2

Решение № 16006:

Решение уравнения \( \log_{\frac{1}{4-3x}}(10x^2 - 23x + 14) = -2 \) выполним следующими шагами: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{\frac{1}{4-3x}}(10x^2 - 23x + 14) = -2 \] </li> <li>Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ \left(\frac{1}{4-3x}\right)^{-2} = 10x^2 - 23x + 14 \] </li> <li>Упростим экспоненциальное выражение: \[ (4-3x)^2 = 10x^2 - 23x + 14 \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ (4-3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2 \] </li> <li>Приравняем правую часть уравнения: \[ 16 - 24x + 9x^2 = 10x^2 - 23x + 14 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 9x^2 - 24x + 16 = 10x^2 - 23x + 14 \] \[ 0 = x^2 + x - 2 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \, b = 1, \, c = -2 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \, x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] </li> <li>Проверим найденные корни на условие \( 4 - 3x > 0 \): \[ 4 - 3 \cdot 1 = 1 > 0 \quad \text{(подходит)} \] \[ 4 - 3 \cdot (-2) = 10 > 0 \quad \text{(подходит)} \] </li> <li>Проверим найденные корни на условие \( 10x^2 - 23x + 14 > 0 \): \[ 10 \cdot 1^2 - 23 \cdot 1 + 14 = 1 \quad \text{(не подходит)} \] \[ 10 \cdot (-2)^2 - 23 \cdot (-2) + 14 = 40 + 46 + 14 = 100 > 0 \quad \text{(подходит)} \] </li> <li>Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = -2 \] </li> </ol> Ответ: \( x = -2 \)