№16005

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{x+1}(x^{2}+8x+37)=2\)

Ответ

\varnothing

Решение № 16003:

Для решения уравнения \( \log_{x+1}(x^2 + 8x + 37) = 2 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{x+1}(x^2 + 8x + 37) = 2 \] </li> <li>Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+1)^2 = x^2 + 8x + 37 \] </li> <li>Раскроем скобки в левой части уравнения: \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] </li> <li>Подставим это выражение в уравнение: \[ x^2 + 2x + 1 = x^2 + 8x + 37 \] </li> <li>Упростим уравнение, вычтя \(x^2\) из обеих частей: \[ 2x + 1 = 8x + 37 \] </li> <li>Перенесем все \(x\) в одну сторону уравнения: \[ 2x + 1 - 8x - 37 = 0 \] \[ -6x - 36 = 0 \] </li> <li>Решим уравнение для \(x\): \[ -6x = 36 \] \[ x = -6 \] </li> <li>Проверим, удовлетворяет ли \(x = -6\) исходному уравнению: \[ \log_{-6+1}((-6)^2 + 8(-6) + 37) = 2 \] \[ \log_{-5}(36 - 48 + 37) = 2 \] \[ \log_{-5}(25) = 2 \] </li> <li>Проверим, является ли \(\log_{-5}(25) = 2\) верным: \[ (-5)^2 = 25 \] \[ 25 = 25 \] \[ \log_{-5}(25) = 2 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\log_{x+1}(x^2 + 8x + 37) = 2\) есть \(x = -6\). Ответ: \(-6\)