№16012

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{9}(x^{2}+2x-11)=log_{3}(2x-8)\)

Ответ

25/3

Решение № 16010:

Для решения уравнения \( \log_{9}(x^{2}+2x-11) = \log_{9}(2x-8) \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{9}(x^{2}+2x-11) = \log_{9}(2x-8) \] </li> <li>Приравняем аргументы логарифмов, так как основания логарифмов одинаковые: \[ x^{2}+2x-11 = 2x-8 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^{2}+2x-11 - 2x + 8 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ x^{2} - 3 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ x^{2} = 3 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3} \] </li> <li>Проверим найденные решения на допустимость: <ul> <li>Для \( x = \sqrt{3} \): \[ 2x - 8 = 2\sqrt{3} - 8 < 0 \] Логарифм от отрицательного числа не существует, поэтому \( x = \sqrt{3} \) не подходит. </li> <li>Для \( x = -\sqrt{3} \): \[ 2x - 8 = -2\sqrt{3} - 8 < 0 \] Логарифм от отрицательного числа не существует, поэтому \( x = -\sqrt{3} \) не подходит. </li> </ul> </li> <li>Таким образом, уравнение не имеет решений.</li> </ol> Ответ: нет решений.