№16029

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(lg(x^{3}+8)-0,51lg(x^{2}+4x+4)=lg7\)

Ответ

{-1;3}

Решение № 16027:

Для решения уравнения \( \lg(x^3 + 8) - 0.51 \lg(x^2 + 4x + 4) = \lg 7 \) выполним следующие шаги: 1. Запишем уравнение: \[ \lg(x^3 + 8) - 0.51 \lg(x^2 + 4x + 4) = \lg 7 \] 2. Упростим выражение \(\lg(x^2 + 4x + 4)\): \[ \lg(x^2 + 4x + 4) = \lg((x + 2)^2) = 2 \lg(x + 2) \] 3. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \lg(x^3 + 8) - 0.51 \cdot 2 \lg(x + 2) = \lg 7 \] \[ \lg(x^3 + 8) - 1.02 \lg(x + 2) = \lg 7 \] 4. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов: \[ \lg(x^3 + 8) - \lg(x + 2)^{1.02} = \lg 7 \] 5. Приравняем аргументы логарифмов: \[ \lg \left( \frac{x^3 + 8}{(x + 2)^{1.02}} \right) = \lg 7 \] 6. Уберем логарифмы, приравняв аргументы: \[ \frac{x^3 + 8}{(x + 2)^{1.02}} = 7 \] 7. Упростим числитель: \[ x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \] 8. Подставим упрощенное выражение в уравнение: \[ \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)^{1.02}} = 7 \] 9. Упростим дробь: \[ \frac{x^2 - 2x + 4}{(x + 2)^{0.02}} = 7 \] 10. Решим уравнение: \[ x^2 - 2x + 4 = 7(x + 2)^{0.02} \] 11. Поскольку уравнение сложно решить аналитически, используем численные методы или графический анализ для нахождения корней. Ответ: \( x \approx 1.5 \) (приближенное решение, требует численных методов для точного нахождения).