№16010

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{1/3}(x^{2}+4x-3)=log_{1/3}(3x-1)\)

Ответ

1

Решение № 16008:

Для решения уравнения \(\log_{1/3}(x^2 + 4x - 3) = \log_{1/3}(3x - 1)\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{1/3}(x^2 + 4x - 3) = \log_{1/3}(3x - 1) \] </li> <li>Поскольку логарифмы с одинаковыми основаниями равны, приравняем их аргументы: \[ x^2 + 4x - 3 = 3x - 1 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 4x - 3 - 3x + 1 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\). Для этого найдем корни уравнения, используя формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] </li> <li>Рассчитаем два возможных решения: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] </li> <li>Проверим, удовлетворяют ли найденные решения условиям задачи. Для этого подставим \(x = 1\) и \(x = -2\) в исходное уравнение: \[ \log_{1/3}(1^2 + 4 \cdot 1 - 3) = \log_{1/3}(3 \cdot 1 - 1) \] \[ \log_{1/3}(1 + 4 - 3) = \log_{1/3}(3 - 1) \] \[ \log_{1/3}(2) = \log_{1/3}(2) \] Это верно, значит \(x = 1\) является решением. \[ \log_{1/3}((-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 3) = \log_{1/3}(3 \cdot (-2) - 1) \] \[ \log_{1/3}(4 - 8 - 3) = \log_{1/3}(-6 - 1) \] \[ \log_{1/3}(-7) = \log_{1/3}(-7) \] Это также верно, значит \(x = -2\) является решением. </li> <li>Таким образом, решения уравнения \(\log_{1/3}(x^2 + 4x - 3) = \log_{1/3}(3x - 1)\) есть \(x = 1\) и \(x = -2\).</li> </ol> Ответ: \(x = 1\), \(x = -2\)