№16022

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}(x-1)+log_{2}(x+1)=3\)

Ответ

3

Решение № 16020:

Для решения уравнения \( \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x+1) = 3 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x+1) = 3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{2}((x-1)(x+1)) = 3 \] </li> <li>Перепишем выражение внутри логарифма: \[ \log_{2}(x^2 - 1) = 3 \] </li> <li>Перейдем от логарифмической формы к экспоненциальной: \[ x^2 - 1 = 2^3 \] </li> <li>Вычислим \(2^3\): \[ x^2 - 1 = 8 \] </li> <li>Решим уравнение \(x^2 - 1 = 8\): \[ x^2 = 9 \] </li> <li>Возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: \[ x = \pm 3 \] </li> <li>Учтем ограничения для логарифмов: \(x - 1 > 0\) и \(x + 1 > 0\). Это означает, что \(x > 1\). </li> <li>Исключим \(x = -3\), так как оно не удовлетворяет условию \(x > 1\). </li> <li>Оставляем \(x = 3\) как единственное решение. </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \log_{2}(x-1) + \log_{2}(x+1) = 3 \) есть \( x = 3 \). Ответ: 3