№16004

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}\left ( 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \right )=log_{5}0,2\)

Ответ

{3;10}

Решение № 16002:

Для решения уравнения \( \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \] </li> <li>Вычислим значение \(\log_{5}0.2\): \[ \log_{5}0.2 = \log_{5}\left(\frac{1}{5}\right) = -1 \] </li> <li>Подставим значение \(\log_{5}0.2\) в уравнение: \[ \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right) = -1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{a}b = c \Rightarrow a^c = b\): \[ 3^{-1} = 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \frac{1}{3} = 3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9} \] </li> <li>Вычтем \(\frac{2}{9}\) из обеих частей уравнения: \[ \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \] </li> <li>Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \frac{1}{9} = 3^{x^{2}-13x+28} \] </li> <li>Представим \(\frac{1}{9}\) в виде степени с основанием 3: \[ \frac{1}{9} = 3^{-2} \] </li> <li>Приравняем показатели степеней: \[ x^{2}-13x+28 = -2 \] </li> <li>Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^{2}-13x+30 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1} \] </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 \] </li> <li>Вычислим корни уравнения: \[ x = \frac{13 \pm 7}{2} \] </li> <li>Найдем два решения: \[ x = \frac{13 + 7}{2} = 10 \quad \text{и} \quad x = \frac{13 - 7}{2} = 3 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \log_{3}\left(3^{x^{2}-13x+28}+\frac{2}{9}\right)=\log_{5}0.2 \) есть \( x = 3 \) или \( x = 10 \). Ответ: 3 или 10