№16017

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}(3-x)+log_{2}(1-x)=3\)

Ответ

-1

Решение № 16015:

Для решения уравнения \(\log_{2}(3-x) + \log_{2}(1-x) = 3\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}(3-x) + \log_{2}(1-x) = 3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{2}((3-x)(1-x)) = 3 \] </li> <li>Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ (3-x)(1-x) = 2^3 \] </li> <li>Вычислим \(2^3\): \[ (3-x)(1-x) = 8 \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \[ (3-x)(1-x) = 3 - x - 3x + x^2 = x^2 - 4x + 3 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 8 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x - 5 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\): \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] </li> <li>Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям задачи (логарифмы должны быть определены): \[ \log_{2}(3-x) \quad \text{и} \quad \log_{2}(1-x) \] Для \(x = 5\): \[ \log_{2}(3-5) = \log_{2}(-2) \quad \text{(не определено)} \] Для \(x = -1\): \[ \log_{2}(3-(-1)) = \log_{2}(4) \quad \text{(определено)} \] \[ \log_{2}(1-(-1)) = \log_{2}(2) \quad \text{(определено)} \] </li> <li>Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = -1 \] </li> </ol> Ответ: -1