№16024

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}\frac{x-2}{x-1}-1=log_{2}\frac{3x-7}{3x-1}\)

Ответ

3

Решение № 16022:

Для решения уравнения \( \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, что \(\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}\): \[ \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - \log_{2}2 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \] </li> <li>Применим свойство логарифмов: \[ \log_{2}\frac{x-2}{2(x-1)} = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы также должны быть равны: \[ \frac{x-2}{2(x-1)} = \frac{3x-7}{3x-1} \] </li> <li>Перекрестное умножение для упрощения дроби: \[ (x-2)(3x-1) = (3x-7)(2(x-1)) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ (x-2)(3x-1) = 3x^2 - x - 6x + 2 \] \[ (3x-7)(2x-2) = 6x^2 - 6x - 14x + 14 \] </li> <li>Упростим выражения: \[ 3x^2 - 7x + 2 = 6x^2 - 20x + 14 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 3x^2 - 7x + 2 - 6x^2 + 20x - 14 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ -3x^2 + 13x - 12 = 0 \] </li> <li>Умножим все члены на -1 для удобства: \[ 3x^2 - 13x + 12 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 5}{6} \] </li> <li>Получим два решения: \[ x_1 = \frac{13 + 5}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{13 - 5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] </li> <li>Проверим полученные решения на допустимость в исходном уравнении: \[ x_1 = 3 \] \[ \log_{2}\frac{3-2}{3-1} - 1 = \log_{2}\frac{3 \cdot 3 - 7}{3 \cdot 3 - 1} \] \[ \log_{2}\frac{1}{2} - 1 = \log_{2}\frac{2}{8} \] \[ -1 - 1 = -2 \] \[ -2 = -2 \quad \text{(верно)} \] \[ x_2 = \frac{4}{3} \] \[ \log_{2}\frac{\frac{4}{3}-2}{\frac{4}{3}-1} - 1 = \log_{2}\frac{3 \cdot \frac{4}{3} - 7}{3 \cdot \frac{4}{3} - 1} \] \[ \log_{2}\frac{\frac{4}{3}-\frac{6}{3}}{\frac{4}{3}-\frac{3}{3}} - 1 = \log_{2}\frac{4 - 7}{4 - 3} \] \[ \log_{2}\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} - 1 = \log_{2}\frac{-3}{1} \] \[ \log_{2}(-2) - 1 = \log_{2}(-3) \] \[ \text{(неверно, так как логарифм от отрицательного числа не определен)} \] </li> </ol> Таким образом, единственное допустимое решение уравнения \( \log_{2}\frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_{2}\frac{3x-7}{3x-1} \) есть \( x = 3 \). Ответ: 3