№16015

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}(x+2)=log_{1/4}(3x+4)\)

Ответ

-1

Решение № 16013:

Для решения уравнения \( \log_{2}(x+2) = \log_{1/4}(3x+4) \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}(x+2) = \log_{1/4}(3x+4) \] </li> <li>Перепишем логарифм с основанием \( \frac{1}{4} \) через логарифм с основанием 2. Поскольку \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), используем свойство логарифмов: \[ \log_{1/4}(3x+4) = \frac{\log_{2}(3x+4)}{\log_{2}(1/4)} \] </li> <li>Вычислим \( \log_{2}(1/4) \): \[ \log_{2}(1/4) = \log_{2}(2^{-2}) = -2 \] </li> <li>Подставим результат в уравнение: \[ \log_{2}(x+2) = \frac{\log_{2}(3x+4)}{-2} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на -2: \[ -2 \log_{2}(x+2) = \log_{2}(3x+4) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( a \log_{b}(c) = \log_{b}(c^a) \): \[ \log_{2}((x+2)^{-2}) = \log_{2}(3x+4) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ (x+2)^{-2} = 3x+4 \] </li> <li>Приравняем выражения: \[ \frac{1}{(x+2)^2} = 3x+4 \] </li> <li>Перепишем уравнение в виде: \[ 1 = (3x+4)(x+2)^2 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \((x+2)^2\): \[ (x+2)^2 = 1 \] </li> <li>Развернем квадрат: \[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \] </li> <li>Получим уравнение: \[ x^2 + 4x + 4 = 1 \] </li> <li>Перенесем 1 в левую часть уравнения: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) методом дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \] </li> <li>Проверим полученные корни на условия задачи: \[ x+2 > 0 \quad \text{и} \quad 3x+4 > 0 \] Для \( x = -1 \): \[ -1 + 2 = 1 > 0 \quad \text{и} \quad 3(-1) + 4 = 1 > 0 \] Для \( x = -3 \): \[ -3 + 2 = -1 \not> 0 \quad \text{и} \quad 3(-3) + 4 = -5 \not> 0 \] </li> <li>Таким образом, уравнение имеет единственное решение: \[ x = -1 \] </li> </ol> Ответ: -1