№16018

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}x+log_{2}(x+2)=3\)

Ответ

2

Решение № 16016:

Для решения уравнения \(\log_{2}x + \log_{2}(x+2) = 3\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}x + \log_{2}(x+2) = 3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c)\): \[ \log_{2}(x \cdot (x+2)) = 3 \] </li> <li>Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ x \cdot (x+2) = 2^3 \] </li> <li>Вычислим \(2^3\): \[ x \cdot (x+2) = 8 \] </li> <li>Получим квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x = 8 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] </li> <li>Найдем корни квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 2\), и \(c = -8\): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] </li> <li>Подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \] </li> <li>Вычислим корни: \[ x = \frac{-2 \pm 6}{2} \] </li> <li>Получим два решения: \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] </li> <li>Проверим корни на допустимость (логарифм определен только для положительных чисел): \[ x = 2 \quad \text{(допустимо)} \] \[ x = -4 \quad \text{(недопустимо)} \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\log_{2}x + \log_{2}(x+2) = 3\) есть \(x = 2\). Ответ: 2