№16020

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}x+log_{3}(x-2)=log_{3}(2x-3)\)

Ответ

3

Решение № 16018:

Для решения уравнения \( \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, что \(\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)\): \[ \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(x(x-2)) \] </li> <li>Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \log_{3}(x(x-2)) = \log_{3}(2x-3) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ x(x-2) = 2x-3 \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[ x^2 - 2x = 2x - 3 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 2x - 2x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\) методом факторизации: \[ (x-1)(x-3) = 0 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x-1 = 0 \quad \text{или} \quad x-3 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 3 \] </li> <li>Проверим решения на допустимость. Для логарифмов \(x > 0\) и \(x-2 > 0\): \[ x = 1 \quad \text{не подходит, так как} \quad 1-2 < 0 \] \[ x = 3 \quad \text{подходит, так как} \quad 3-2 > 0 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \log_{3}x + \log_{3}(x-2) = \log_{3}(2x-3) \) есть \( x = 3 \). Ответ: 3