№16019

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{6}(x+1)+log_{6}(2x+1)=1\)

Ответ

1

Решение № 16017:

Для решения уравнения \(\log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{6}((x+1)(2x+1)) = 1 \] </li> <li>Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+1)(2x+1) = 6^1 \] \[ (x+1)(2x+1) = 6 \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению: \[ (x+1)(2x+1) = 2x^2 + 3x + 1 = 6 \] \[ 2x^2 + 3x + 1 - 6 = 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) с использованием формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 3\), и \(c = -5\): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} \] \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{-3 \pm 7}{4} \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \] </li> <li>Проверим найденные корни на область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Логарифмы определены только для положительных аргументов: \[ x + 1 > 0 \implies x > -1 \] \[ 2x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{2} \] Таким образом, \(x\) должно быть больше \(-\frac{1}{2}\). </li> <li>Проверим корни: \[ x = 1 \quad \text{(подходит, так как } 1 > -\frac{1}{2}\text{)} \] \[ x = -\frac{5}{2} \quad \text{(не подходит, так как } -\frac{5}{2} < -\frac{1}{2}\text{)} \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\log_{6}(x+1) + \log_{6}(2x+1) = 1\) есть \(x = 1\). Ответ: 1