№16021

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(lg(x+4)+lg(2x+3)=lg(1-2x)\)

Ответ

-1

Решение № 16019:

Для решения уравнения \( \lg(x+4) + \lg(x+3) = \lg(1-2x) \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \lg(x+4) + \lg(2x+3) = \lg(1-2x) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, что логарифм произведения равен сумме логарифмов: \[ \lg((x+4)(2x+3)) = \lg(1-2x) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ (x+4)(2x+3) = 1-2x \] </li> <li>Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \[ (x+4)(2x+3) = 2x^2 + 3x + 8x + 12 = 2x^2 + 11x + 12 \] \[ 2x^2 + 11x + 12 = 1 - 2x \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 2x^2 + 11x + 12 - 1 + 2x = 0 \] \[ 2x^2 + 13x + 11 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(2x^2 + 13x + 11 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = 13\), \(c = 11\): \[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 88}}{4} \] \[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ x = \frac{-13 \pm 9}{4} \] </li> <li>Найдем два возможных решения: \[ x_1 = \frac{-13 + 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-13 - 9}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2} \] </li> <li>Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: \[ x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4 \] \[ 2x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{3}{2} \] \[ 1 - 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{1}{2} \] </li> <li>Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ: \[ x_1 = -1 \quad \text{не удовлетворяет условию} \quad x > -\frac{3}{2} \] \[ x_2 = -\frac{11}{2} \quad \text{не удовлетворяет условию} \quad x > -4 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \lg(x+4) + \lg(2x+3) = \lg(1-2x) \) не имеет решений в области допустимых значений. Ответ: нет решений.