№15976

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнения\(log_{2}(2\cdot 4^{x-2}-1)=2x-4\)

Ответ

2

Решение № 15974:

Для решения уравнения \(\log_{2}(2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}(2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4 \] </li> <li>Представим число 4 в виде степени с основанием 2: \[ 4 = 2^2 \] </li> <li>Подставим \(2^2\) вместо 4 в уравнение: \[ \log_{2}(2 \cdot (2^2)^{x-2} - 1) = 2x - 4 \] </li> <li>Упростим выражение \((2^2)^{x-2}\): \[ (2^2)^{x-2} = 2^{2(x-2)} = 2^{2x-4} \] </li> <li>Подставим \(2^{2x-4}\) в уравнение: \[ \log_{2}(2 \cdot 2^{2x-4} - 1) = 2x - 4 \] </li> <li>Упростим выражение \(2 \cdot 2^{2x-4}\): \[ 2 \cdot 2^{2x-4} = 2^{1 + 2x-4} = 2^{2x-3} \] </li> <li>Подставим \(2^{2x-3}\) в уравнение: \[ \log_{2}(2^{2x-3} - 1) = 2x - 4 \] </li> <li>Рассмотрим уравнение \(\log_{2}(2^{2x-3} - 1) = 2x - 4\): \[ 2^{2x-3} - 1 = 2^{2x-4} \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 2^{2x-3} - 1 = 2^{2x-4} \] \[ 2^{2x-3} - 2^{2x-4} = 1 \] </li> <li>Вынесем общий множитель \(2^{2x-4}\): \[ 2^{2x-4} \cdot (2 - 1) = 1 \] \[ 2^{2x-4} = 1 \] </li> <li>Решим уравнение \(2^{2x-4} = 1\): Поскольку \(2^0 = 1\), получаем: \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\log_{2}(2 \cdot 4^{x-2} - 1) = 2x - 4\) есть \(x = 2\). Ответ: 2