№16014

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{3}(2x-3)=log_{1/3}(3-x)\)

Ответ

{2;2,5}

Решение № 16012:

Для решения уравнения \(\log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x)\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b) = \log_{1/a}(1/b)\): \[ \log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x) \] Это эквивалентно: \[ \log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \(\log_{a}(b) = -\log_{1/a}(b)\): \[ \log_{3}(2x-3) = -\log_{3}(3-x) \] </li> <li>Приравняем аргументы логарифмов: \[ 2x-3 = \frac{1}{3-x} \] </li> <li>Перемножим обе части уравнения на \((3-x)\): \[ (2x-3)(3-x) = 1 \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 6x - 3x^2 - 9 + 3x = 1 \] \[ -3x^2 + 9x - 9 = 1 \] \[ -3x^2 + 9x - 10 = 0 \] </li> <li>Умножим уравнение на \(-1\) для удобства: \[ 3x^2 - 9x + 10 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -9\), \(c = 10\): \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 120}}{6} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{-39}}{6} \] </li> <li>Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение не имеет решений в действительных числах. </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(\log_{3}(2x-3) = \log_{1/3}(3-x)\) не имеет решений в действительных числах. Ответ: нет решений.