№16009

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}(3x^{2}-x-4)=log_{2}(1-3x)\)

Ответ

-0.8333333333333334

Решение № 16007:

Для решения уравнения \( \log_{2}(3x^{2}-x-4) = \log_{2}(1-3x) \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}(3x^{2}-x-4) = \log_{2}(1-3x) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы должны быть равны. Получим уравнение: \[ 3x^{2}-x-4 = 1-3x \] </li> <li>Приведём подобные члены: \[ 3x^{2}-x-4 = 1-3x \] \[ 3x^{2} - x + 3x - 4 = 1 \] \[ 3x^{2} + 2x - 4 = 1 \] \[ 3x^{2} + 2x - 5 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ 3x^{2} + 2x - 5 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 3 \), \( b = 2 \), и \( c = -5 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 8}{6} \] Получаем два решения: \[ x_1 = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 8}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \] </li> <li>Проверим, удовлетворяют ли найденные решения исходному уравнению: <ul> <li>Для \( x = 1 \): \[ \log_{2}(3 \cdot 1^{2} - 1 - 4) = \log_{2}(1 - 3 \cdot 1) \] \[ \log_{2}(3 - 1 - 4) = \log_{2}(1 - 3) \] \[ \log_{2}(-2) \quad \text{(не определено)} \] Это решение не удовлетворяет уравнению, так как логарифм отрицательного числа не определен. </li> <li>Для \( x = -\frac{5}{3} \): \[ \log_{2}(3 \left(-\frac{5}{3}\right)^{2} - \left(-\frac{5}{3}\right) - 4) = \log_{2}(1 - 3 \left(-\frac{5}{3}\right)) \] \[ \log_{2}\left(3 \cdot \frac{25}{9} + \frac{5}{3} - 4\right) = \log_{2}\left(1 + 5\right) \] \[ \log_{2}\left(\frac{75}{9} + \frac{15}{9} - \frac{36}{9}\right) = \log_{2}(6) \] \[ \log_{2}\left(\frac{54}{9}\right) = \log_{2}(6) \] \[ \log_{2}(6) = \log_{2}(6) \] Это решение удовлетворяет уравнению. </li> </ul> </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \log_{2}(3x^{2}-x-4) = \log_{2}(1-3x) \) есть \( x = -\frac{5}{3} \). Ответ: \( x = -\frac{5}{3} \)