№16025

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(2log_{2}\frac{x-7}{x-1}+log_{2}\frac{x-1}{x+1}=1\)

Ответ

-17

Решение № 16023:

Для решения уравнения \(2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1 \] </li> <li>Введем обозначение для логарифмов: \[ \log_{2} \frac{x-7}{x-1} = a \quad \text{и} \quad \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = b \] </li> <li>Запишем уравнение с новыми обозначениями: \[ 2a + b = 1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов для сложения: \[ \log_{2} \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1 \] </li> <li>Объединим логарифмы: \[ \log_{2} \left( \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{x-1}{x+1} \right) = 1 \] </li> <li>Упростим выражение внутри логарифма: \[ \left( \frac{x-7}{x-1} \right)^2 \cdot \frac{x-1}{x+1} = 2 \] </li> <li>Умножим и упростим дроби: \[ \frac{(x-7)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1} = 2 \] </li> <li>Сократим \((x-1)\): \[ \frac{(x-7)^2}{(x-1)(x+1)} = 2 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \((x-1)(x+1)\): \[ (x-7)^2 = 2(x-1)(x+1) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ x^2 - 14x + 49 = 2(x^2 - 1) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ x^2 - 14x + 49 = 2x^2 - 2 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 14x + 49 - 2x^2 + 2 = 0 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ -x^2 - 14x + 51 = 0 \] </li> <li>Умножим все члены на -1: \[ x^2 + 14x - 51 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)}}{2 \cdot 1} \] </li> <li>Вычислим дискриминант: \[ \Delta = 14^2 + 4 \cdot 51 = 196 + 204 = 400 \] </li> <li>Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-14 \pm 20}{2} \] </li> <li>Рассчитаем значения \(x\): \[ x_1 = \frac{-14 + 20}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14 - 20}{2} = -17 \] </li> <li>Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи: \[ \text{Для } x = 3: \quad \frac{3-7}{3-1} = \frac{-4}{2} = -2 \quad (\text{допустимо}) \] \[ \text{Для } x = -17: \quad \frac{-17-7}{-17-1} = \frac{-24}{-18} = \frac{4}{3} \quad (\text{допустимо}) \] </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \(2 \log_{2} \frac{x-7}{x-1} + \log_{2} \frac{x-1}{x+1} = 1\) есть \(x = 3\) и \(x = -17\). Ответ: \(3\) и \(-17\).