№16011

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{\pi }(2x^{2}+x-7)=log_{\pi }(2x+3)\)

Ответ

2.5

Решение № 16009:

Для решения уравнения \(\log_{\pi}(2x^2 + x - 7) = \log_{\pi}(2x + 3)\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{\pi}(2x^2 + x - 7) = \log_{\pi}(2x + 3) \] </li> <li>Используем свойство логарифмов, согласно которому если \(\log_a(b) = \log_a(c)\), то \(b = c\): \[ 2x^2 + x - 7 = 2x + 3 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 2x^2 + x - 7 - 2x - 3 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 2x^2 - x - 10 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(2x^2 - x - 10 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = -1\) и \(c = -10\): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 9}{4} \] </li> <li>Найдем два решения: \[ x_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] \[ x_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] </li> <li>Проверим, удовлетворяют ли найденные решения условиям задачи. Для этого убедимся, что аргументы логарифмов положительны: \[ 2x + 3 > 0 \quad \text{и} \quad 2x^2 + x - 7 > 0 \] Для \(x = 2.5\): \[ 2(2.5) + 3 = 5 + 3 = 8 > 0 \] \[ 2(2.5)^2 + 2.5 - 7 = 2(6.25) + 2.5 - 7 = 12.5 + 2.5 - 7 = 8 > 0 \] Для \(x = -2\): \[ 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \not> 0 \] Таким образом, \(x = -2\) не удовлетворяет условиям задачи. </li> </ol> Таким образом, единственное решение уравнения \(\log_{\pi}(2x^2 + x - 7) = \log_{\pi}(2x + 3)\) есть \(x = 2.5\). Ответ: 2.5