№16028

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{2}182-2log_{2}\sqrt{5-x}=log_{2}(11-x)+1\)

Ответ

-2

Решение № 16026:

Для решения уравнения \( \log_{2}182 - 2\log_{2}\sqrt{5-x} = \log_{2}(11-x) + 1 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{2}182 - 2\log_{2}\sqrt{5-x} = \log_{2}(11-x) + 1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( \log_{b}(a^c) = c \log_{b}(a) \) для выражения \( 2\log_{2}\sqrt{5-x} \): \[ 2\log_{2}\sqrt{5-x} = \log_{2}((\sqrt{5-x})^2) = \log_{2}(5-x) \] </li> <li>Подставим \( \log_{2}(5-x) \) в уравнение: \[ \log_{2}182 - \log_{2}(5-x) = \log_{2}(11-x) + 1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( \log_{b}(a) - \log_{b}(c) = \log_{b}\left(\frac{a}{c}\right) \): \[ \log_{2}\left(\frac{182}{5-x}\right) = \log_{2}(11-x) + 1 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов \( \log_{b}(a) + \log_{b}(c) = \log_{b}(a \cdot c) \): \[ \log_{2}\left(\frac{182}{5-x}\right) = \log_{2}(2 \cdot (11-x)) \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ \frac{182}{5-x} = 2 \cdot (11-x) \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 2: \[ \frac{182}{5-x} = 11-x \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( 5-x \): \[ 182 = (11-x)(5-x) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ 182 = 55 - 16x + x^2 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 - 16x + 55 - 182 = 0 \] \[ x^2 - 16x - 127 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \( x^2 - 16x - 127 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \quad b = -16, \quad c = -127 \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 508}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm \sqrt{764}}{2} \] \[ x = \frac{16 \pm 2\sqrt{191}}{2} \] \[ x = 8 \pm \sqrt{191} \] </li> <li>Проверим допустимость решений. Поскольку логарифмы определены только для положительных аргументов, \( 5-x > 0 \) и \( 11-x > 0 \): \[ x < 5 \quad \text{и} \quad x < 11 \] </li> <li>Проверим \( x = 8 + \sqrt{191} \) и \( x = 8 - \sqrt{191} \): \[ 8 + \sqrt{191} > 5 \quad \text{(не подходит)} \] \[ 8 - \sqrt{191} < 5 \quad \text{(подходит)} \] </li> <li>Таким образом, решение уравнения: \[ x = 8 - \sqrt{191} \] </li> </ol> Ответ: \( x = 8 - \sqrt{191} \)