№16007

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{x+2}(2x^{2}-4x+11)=2\)

Ответ

7

Решение № 16005:

Для решения уравнения \(\log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2 \] </li> <li>Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+2)^2 = 2x^2 - 4x + 11 \] </li> <li>Раскроем скобки и упростим выражение: \[ x^2 + 4x + 4 = 2x^2 - 4x + 11 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 4x + 4 - 2x^2 + 4x - 11 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ -x^2 + 8x - 7 = 0 \] или \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(x^2 - 8x + 7 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -8\), и \(c = 7\). </li> <li>Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} \] </li> <li>Упростим подкоренное выражение: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} \] </li> <li>Вычислим корень: \[ x = \frac{8 \pm 6}{2} \] </li> <li>Получим два решения: \[ x = \frac{8 + 6}{2} = 7 \] и \[ x = \frac{8 - 6}{2} = 1 \] </li> <li>Проверим решения на область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: \[ \log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) \] Для \(x = 7\): \[ \log_{9}(2 \cdot 7^2 - 4 \cdot 7 + 11) = \log_{9}(98 - 28 + 11) = \log_{9}(81) = 2 \] Для \(x = 1\): \[ \log_{3}(2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 11) = \log_{3}(2 - 4 + 11) = \log_{3}(9) = 2 \] </li> </ol> Таким образом, решения уравнения \(\log_{x+2}(2x^2 - 4x + 11) = 2\) являются \(x = 1\) и \(x = 7\). Ответ: \(1\) и \(7\).