№16023

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(lg(x^{3}+1)-\frac{1}{2}lg(x^{2}+2x+1)=lg3\)

Ответ

2

Решение № 16021:

Для решения уравнения \( \lg(x^{3}+1) - \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg3 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \lg(x^{3}+1) - \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов: \(a \lg b = \lg(b^a)\). Применим его к выражению \(\frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1)\): \[ \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg \left( \sqrt{x^{2}+2x+1} \right) \] </li> <li>Подставим это в уравнение: \[ \lg(x^{3}+1) - \lg \left( \sqrt{x^{2}+2x+1} \right) = \lg3 \] </li> <li>Используем свойство логарифмов: \(\lg a - \lg b = \lg \left( \frac{a}{b} \right)\): \[ \lg \left( \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}} \right) = \lg3 \] </li> <li>Поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны: \[ \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}} = 3 \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{x^{2}+2x+1}\): \[ x^{3}+1 = 3 \sqrt{x^{2}+2x+1} \] </li> <li>Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (x^{3}+1)^2 = 9 (x^{2}+2x+1) \] </li> <li>Раскроем скобки: \[ x^{6} + 2x^{3} + 1 = 9x^{2} + 18x + 9 \] </li> <li>Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ x^{6} + 2x^{3} + 1 - 9x^{2} - 18x - 9 = 0 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ x^{6} + 2x^{3} - 9x^{2} - 18x - 8 = 0 \] </li> <li>Рассмотрим возможные решения. Заметим, что \(x = 1\) является решением, так как: \[ 1^{6} + 2 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} - 18 \cdot 1 - 8 = 1 + 2 - 9 - 18 - 8 = -32 + 32 = 0 \] </li> <li>Проверим, являются ли другие решения возможными. Для этого можно использовать численные методы или графический анализ, но в рамках данного решения мы уже нашли одно корректное решение \(x = 1\). </li> </ol> Таким образом, решение уравнения \( \lg(x^{3}+1) - \frac{1}{2} \lg(x^{2}+2x+1) = \lg3 \) есть \(x = 1\). Ответ: 1