№16006

Экзамены с этой задачей: Логарифмические и показательные уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, простейшие логарифмические уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решить уравнение: \(log_{x+2}x^{2}-x-13=1\)

Ответ

5

Решение № 16004:

Для решения уравнения \( \log_{x+2} x^2 - x - 13 = 1 \) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ \log_{x+2} x^2 - x - 13 = 1 \] </li> <li>Перенесем \(x + 13\) в правую часть уравнения: \[ \log_{x+2} x^2 = x + 14 \] </li> <li>Перепишем логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме: \[ (x+2)^{x+14} = x^2 \] </li> <li>Рассмотрим возможные значения \(x\), чтобы удовлетворить уравнение. Для этого проверим простые значения \(x\): <ul> <li>При \(x = 2\): \[ (2+2)^16 = 2^2 \implies 4^{16} = 4 \] Это неверно, так как \(4^{16} \neq 4\). </li> <li>При \(x = 3\): \[ (3+2)^17 = 3^2 \implies 5^{17} = 9 \] Это неверно, так как \(5^{17} \neq 9\). </li> <li>При \(x = 4\): \[ (4+2)^18 = 4^2 \implies 6^{18} = 16 \] Это неверно, так как \(6^{18} \neq 16\). </li> <li>При \(x = 5\): \[ (5+2)^19 = 5^2 \implies 7^{19} = 25 \] Это неверно, так как \(7^{19} \neq 25\). </li> <li>При \(x = 6\): \[ (6+2)^20 = 6^2 \implies 8^{20} = 36 \] Это неверно, так как \(8^{20} \neq 36\). </li> <li>При \(x = 7\): \[ (7+2)^21 = 7^2 \implies 9^{21} = 49 \] Это неверно, так как \(9^{21} \neq 49\). </li> <li>При \(x = 8\): \[ (8+2)^22 = 8^2 \implies 10^{22} = 64 \] Это неверно, так как \(10^{22} \neq 64\). </li> </ul> </li> <li>Проверим более сложные значения \(x\): <ul> <li>При \(x = 1\): \[ (1+2)^15 = 1^2 \implies 3^{15} = 1 \] Это неверно, так как \(3^{15} \neq 1\). </li> <li>При \(x = 0\): \[ (0+2)^14 = 0^2 \implies 2^{14} = 0 \] Это неверно, так как \(2^{14} \neq 0\). </li> </ul> </li> <li>Проверим отрицательные значения \(x\): <ul> <li>При \(x = -1\): \[ (-1+2)^13 = (-1)^2 \implies 1^{13} = 1 \] Это верно, так как \(1^{13} = 1\). </li> </ul> </li> <li>Таким образом, решение уравнения \( \log_{x+2} x^2 - x - 13 = 1 \) есть \(x = -1\). </li> </ol> Ответ: \(-1\)