Решение №42744: Для нахождения средней скорости движения точки с момента \( t_1 = 2 \) с до момента \( t_2 = 3 \) с и мгновенной скорости в момент \( t = 2 \) с, выполним следующие шаги:

1. Найти отклонение точки в моменты \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ м} \] \[ s(t_2) = s(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \text{ м} \]
2. Вычислить среднюю скорость \( v_{\text{ср}} \) движения точки с момента \( t_1 \) до момента \( t_2 \):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{7 - 5}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2 \text{ м/с} \]
3. Найти мгновенную скорость \( v(t) \) точки, которая является производной функции \( s(t) \):
\[ v(t) = \frac{d}{dt}s(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
4. Вычислить мгновенную скорость в момент \( t = 2 \):
\[ v(2) = 2 \]

Ответ: NaN

Решение №42745: Для нахождения средней и мгновенной скорости движения точки, закон движения которой задается формулой \( s(t) = 2t + 1 \), выполним следующие шаги:

1. Найти среднюю скорость движения точки с момента \( t_1 = 2 \) секунды до момента \( t_2 = 2,5 \) секунды.
2. Средняя скорость \( v_{\text{ср}} \) определяется как отношение изменения координаты к изменению времени: \[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \]
3. Вычислим \( s(t_1) \) и \( s(t_2) \): \[ s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м} \] \[ s(t_2) = s(2.5) = 2 \cdot 2.5 + 1 = 5 + 1 = 6 \, \text{м} \]
4. Теперь найдем среднюю скорость: \[ v_{\text{ср}} = \frac{s(2.5) - s(2)}{2.5 - 2} = \frac{6 - 5}{0.5} = \frac{1}{0.5} = 2 \, \text{м/с} \]
5. Найти мгновенную скорость точки в момент \( t = 2 \) секунды.
6. Мгновенная скорость \( v(t) \) равна производной функции \( s(t) \) по времени: \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
7. Таким образом, мгновенная скорость в момент \( t = 2 \) секунды: \[ v(2) = 2 \, \text{м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42746: Для нахождения средней и мгновенной скорости движения точки, заданной формулой \( s(t) = 2t + 1 \), выполним следующие шаги:

1. Найти отклонение точки в моменты времени \( t_1 = 2 \) с и \( t_2 = 2.1 \) с:
\[ s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ м} \] \[ s(2.1) = 2 \cdot 2.1 + 1 = 4.2 + 1 = 5.2 \text{ м} \]
2. Вычислить изменение отклонения за указанный промежуток времени:
\[ \Delta s = s(2.1) - s(2) = 5.2 - 5 = 0.2 \text{ м} \]
3. Вычислить промежуток времени:
\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 2.1 - 2 = 0.1 \text{ с} \]
4. Вычислить среднюю скорость:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0.2}{0.1} = 2 \text{ м/с} \]
5. Найти производную функции \( s(t) \) для вычисления мгновенной скорости:
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
6. Вычислить мгновенную скорость в момент \( t = 2 \):
\[ v(2) = s'(2) = 2 \text{ м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42747: Для нахождения средней скорости движения точки по прямой, заданной формулой \( s(t) = 2t + 1 \), и мгновенной скорости в момент \( t = 2 \) секунды, выполним следующие шаги:

1. Найти среднюю скорость на отрезке времени от \( t_1 = 2 \) секунды до \( t_2 = 2,05 \) секунды.
2. Вычислить отклонение точки в моменты \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м} \] \[ s(t_2) = s(2,05) = 2 \cdot 2,05 + 1 = 4,1 + 1 = 5,1 \, \text{м} \]
3. Использовать формулу для средней скорости \( v_{\text{ср}} \): \[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \]
4. Подставить значения: \[ v_{\text{ср}} = \frac{5,1 - 5}{2,05 - 2} = \frac{0,1}{0,05} = 2 \, \text{м/с} \]
5. Найти мгновенную скорость точки в момент \( t = 2 \) секунды. Мгновенная скорость \( v(t) \) равна производной функции \( s(t) \) по времени: \[ v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} (2t + 1) = 2 \]
6. Таким образом, мгновенная скорость в момент \( t = 2 \) секунды: \[ v(2) = 2 \, \text{м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42748: Для нахождения средней и мгновенной скорости движения точки, заданной формулой \( s(t) = t^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: ### Нахождение средней скорости

1. Запишем формулу для средней скорости:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \]
2. Подставим значения \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 0.1 \):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{s(0.1) - s(0)}{0.1 - 0} \]
3. Вычислим значения \( s(t) \) для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ s(0.1) = (0.1)^2 = 0.01 \] \[ s(0) = 0^2 = 0 \]
4. Подставим эти значения в формулу средней скорости:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{0.01 - 0}{0.1 - 0} = \frac{0.01}{0.1} = 0.1 \text{ м/с} \]

1. Найдем производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \]
2. Подставим значение \( t = 1 \):
\[ v(1) = s'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42749: Для нахождения средней скорости движения точки с момента \( t_1 = 0 \) с до момента \( t_2 = 0.01 \) с и мгновенной скорости в момент \( t = 1 \) с, необходимо выполнить следующие шаги: ### Средняя скорость

1. Вычислить отклонение точки в моменты времени \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ s(t_1) = s(0) = 0^2 = 0 \] \[ s(t_2) = s(0.01) = (0.01)^2 = 0.0001 \]
2. Использовать формулу для средней скорости: \[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \]
3. Подставить значения в формулу: \[ v_{\text{ср}} = \frac{0.0001 - 0}{0.01 - 0} = \frac{0.0001}{0.01} = 0.01 \text{ м/с} \]

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \]
2. Вычислить мгновенную скорость в момент \( t = 1 \) с:
\[ v(1) = s'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42750: Для нахождения средней скорости движения точки с момента \( t_1 = 0 \) с до момента \( t_2 = 0.2 \) с, а также мгновенной скорости в момент \( t = 1 \) с, выполним следующие шаги:

1. Найти перемещение точки за интервал времени от \( t_1 = 0 \) с до \( t_2 = 0.2 \) с:
\[ \Delta s = s(t_2) - s(t_1) \] \[ \Delta s = s(0.2) - s(0) \] \[ s(0.2) = (0.2)^2 = 0.04 \text{ м} \] \[ s(0) = 0^2 = 0 \text{ м} \] \[ \Delta s = 0.04 - 0 = 0.04 \text{ м} \]
2. Найти интервал времени \(\Delta t\):
\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 0.2 - 0 = 0.2 \text{ с} \]
3. Вычислить среднюю скорость \( v_{\text{ср}} \):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0.04 \text{ м}}{0.2 \text{ с}} = 0.2 \text{ м/с} \]
4. Найти мгновенную скорость в момент \( t = 1 \) с:
\[ v(t) = \frac{ds}{dt} \] \[ s(t) = t^2 \implies \frac{ds}{dt} = 2t \] \[ v(1) = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42751: Для решения задачи о нахождении средней и мгновенной скорости движения точки, следуйте следующим шагам: ### Средняя скорость 1. **Найти отклонение точки в моменты времени \( t_1 \) и \( t_2 \)**: \[ s(t_1) = s(0) = 0^2 = 0 \] \[ s(t_2) = s(0.001) = (0.001)^2 = 0.000001 \] 2. **Использовать формулу для средней скорости**: \[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \] Подставим значения: \[ v_{\text{ср}} = \frac{0.000001 - 0}{0.001 - 0} = \frac{0.000001}{0.001} = 0.001 \text{ м/с} \] ### Мгновенная скорость 1. **Найти производную функции \( s(t) \)**: \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \] 2. **Найти мгновенную скорость в момент времени \( t = 1 \)**: \[ s'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \text{ м/с} \] ### Ответ
Средняя скорость: \( 0.001 \text{ м/с} \)
Мгновенная скорость в момент \( t = 1 \text{ с} \): \( 2 \text{ м/с} \)

Ответ: NaN

Решение №42752: Для нахождения средней скорости движения точки и мгновенной скорости в момент \( t = 1 \) с, выполним следующие шаги:

1. Найти среднюю скорость движения точки за время с \( t_1 = 0 \) с до \( t_2 = 0,6 \) с:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \]
2. Вычислить \( s(t_1) \) и \( s(t_2) \):
\[ s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0 \] \[ s(0.6) = 2 \cdot (0.6)^2 + 0.6 = 2 \cdot 0.36 + 0.6 = 0.72 + 0.6 = 1.32 \]
3. Подставить значения в формулу для средней скорости:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{1.32 - 0}{0.6 - 0} = \frac{1.32}{0.6} = 2.2 \, \text{м/с} \]
4. Найти мгновенную скорость движения точки в момент \( t = 1 \) с:
\[ v(t) = \frac{ds}{dt} \]
5. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1 \]
6. Вычислить мгновенную скорость в момент \( t = 1 \) с:
\[ v(1) = s'(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42753: Для нахождения средней и мгновенной скорости точки, движущейся по прямой с законом движения \( s(t) = 2t^2 + t \), выполним следующие шаги:

1. Найти отклонение точки в моменты времени \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 0.2 \):
\[ s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0 \] \[ s(0.2) = 2 \cdot (0.2)^2 + 0.2 = 2 \cdot 0.04 + 0.2 = 0.08 + 0.2 = 0.28 \]
2. Вычислить среднюю скорость \( v_{\text{ср}} \) на отрезке времени от \( t_1 = 0 \) до \( t_2 = 0.2 \):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{0.28 - 0}{0.2 - 0} = \frac{0.28}{0.2} = 1.4 \text{ м/с} \]
3. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1 \]
4. Найти мгновенную скорость точки в момент времени \( t = 1 \):
\[ v(1) = s'(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42754: Для нахождения средней скорости движения точки и мгновенной скорости в момент \( t = 1 \) секунда, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти отклонение точки в моменты \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 0.5 \):
\[ s(0) = 2(0)^2 + 0 = 0 \] \[ s(0.5) = 2(0.5)^2 + 0.5 = 2 \cdot 0.25 + 0.5 = 0.5 + 0.5 = 1 \]
2. Найти среднюю скорость движения точки на отрезке \([ t_1, t_2 ]\):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \] \[ v_{\text{ср}} = \frac{s(0.5) - s(0)}{0.5 - 0} = \frac{1 - 0}{0.5} = 2 \text{ м/с} \]
3. Найти мгновенную скорость точки в момент \( t = 1 \):
\[ v(t) = s'(t) \] \[ s(t) = 2t^2 + t \] \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1 \] \[ v(1) = s'(1) = 4(1) + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42755: Для нахождения средней скорости движения точки и мгновенной скорости в момент \( t = 1 \) секунда, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти отклонение точки в моменты \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 0.1 \) секунд:
\[ s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0 \, \text{метров} \] \[ s(0.1) = 2 \cdot (0.1)^2 + 0.1 = 2 \cdot 0.01 + 0.1 = 0.02 + 0.1 = 0.12 \, \text{метров} \]
2. Найти изменение отклонения \(\Delta s\) и изменение времени \(\Delta t\):
\[ \Delta s = s(0.1) - s(0) = 0.12 - 0 = 0.12 \, \text{метров} \] \[ \Delta t = 0.1 - 0 = 0.1 \, \text{секунд} \]
3. Вычислить среднюю скорость \( v_{\text{ср}} \):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0.12}{0.1} = 1.2 \, \text{м/с} \]
4. Найти производную функции \( s(t) \) для вычисления мгновенной скорости:
\[ s(t) = 2t^2 + t \] \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1 \]
5. Вычислить мгновенную скорость в момент \( t = 1 \) секунда:
\[ s'(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м/с} \]

Ответ: NaN

Решение №42756: Для нахождения мгновенной скорости движения точки, закон движения которой задается формулой \( s(t) = 4t + 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ v(t) = \frac{d}{dt}(s(t)) = \frac{d}{dt}(4t + 1) \]
2. Вычислить производную:
\[ v(t) = 4 \]
3. Интерпретировать результат:
\[ \text{Мгновенная скорость движения точки постоянна и равна } 4 \text{ м/с}. \]

Ответ: 4

Решение №42757: Для нахождения мгновенной скорости движения точки, закон движения которой задается формулой \( s(t) = t^2 - t \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - t) = 2t - 1 \]
2. Производная функции \( s(t) \) дает мгновенную скорость \( v(t) \):
\[ v(t) = 2t - 1 \]
3. Таким образом, мгновенная скорость движения точки в момент времени \( t \) равна:
\[ v(t) = 2t - 1 \]

Ответ: \(2t-1\).

Решение №42758: Для нахождения мгновенной скорости движения точки, если закон движения задается формулой \( s(t) = 3t + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(3t + 2) = 3 \]
2. Производная функции \( s(t) \) по времени \( t \) дает мгновенную скорость \( v(t) \):
\[ v(t) = s'(t) = 3 \]
3. Таким образом, мгновенная скорость движения точки постоянна и равна 3 м/с.

Ответ: 3

Решение №42759: Для нахождения мгновенной скорости движения точки, заданной формулой \( s(t) = t^2 - 2t \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t) = 2t - 2 \]
2. Производная \( s'(t) \) представляет собой мгновенную скорость движения точки.
3. Таким образом, мгновенная скорость движения точки в любой момент времени \( t \) равна:
\[ v(t) = s'(t) = 2t - 2 \]
4. Чтобы найти мгновенную скорость в конкретный момент времени \( t \), подставим значение \( t \) в формулу:
\[ v(t) = 2t - 2 \]

Ответ: \(2t-2\).

Решение №42800:

1. Записать закон движения точки: \[ s(t) = t^2 \]
2. Найти производную функции \( s(t) \), чтобы определить скорость: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \]
3. Найти среднюю скорость в момент времени \( t = 1 \) секунда: \[ v(1) = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{м/с} \]
4. Найти вторую производную функции \( s(t) \), чтобы определить ускорение: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \]
5. Ускорение в момент времени \( t = 1 \) секунда: \[ a(1) = 2 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(2 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42801: Для решения задачи о нахождении средней скорости и ускорения точки, движущейся по прямой с законом движения \( s(t) = t^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти функцию скорости \( v(t) \), которая является производной функции \( s(t) \):
\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \]
2. Найти функцию ускорения \( a(t) \), которая является производной функции скорости \( v(t) \):
\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \]
3. Подставить \( t = 2.1 \) секунды в функцию скорости \( v(t) \) для нахождения скорости в этот момент времени:
\[ v(2.1) = 2 \cdot 2.1 = 4.2 \, \text{м/с} \]
4. Подставить \( t = 2.1 \) секунды в функцию ускорения \( a(t) \) для нахождения ускорения в этот момент времени:
\[ a(2.1) = 2 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(4,2 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42802: Для нахождения средней скорости и ускорения точки, движущейся по прямой с законом движения \( s(t) = t^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \), чтобы определить мгновенную скорость \( v(t) \):
\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \]
2. Найти значение мгновенной скорости в момент времени \( t = 2 \) секунды:
\[ v(2) = 2 \cdot 2 = 4 \text{ м/с} \]
3. Найти вторую производную функции \( s(t) \), чтобы определить ускорение \( a(t) \):
\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \]
4. Найти значение ускорения в момент времени \( t = 2 \) секунды:
\[ a(2) = 2 \text{ м/с}^2 \]
5. Найти среднюю скорость на интервале от \( t = 0 \) до \( t = 2 \) секунды:
\[ v_{\text{средняя}} = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0} = \frac{2^2 - 0^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ м/с} \]

Ответ: \(4 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42803: Для нахождения средней скорости и ускорения точки, движущейся по прямой согласно закону \( s(t) = t^2 \), где \( t \) - время (в секундах), \( s(t) \) - отклонение точки в момент времени \( t \) (в метрах) от начального положения, выполним следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \), чтобы определить мгновенную скорость \( v(t) \):
\[ v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} (t^2) = 2t \]
2. Найти среднюю скорость на отрезке времени от 0 до \( t = 3.5 \) секунд:
\[ \text{Средняя скорость} = \frac{s(3.5) - s(0)}{3.5 - 0} = \frac{(3.5)^2 - 0}{3.5} = \frac{12.25}{3.5} \approx 3.5 \text{ м/с} \]
3. Найти производную функции \( v(t) \), чтобы определить ускорение \( a(t) \):
\[ a(t) = \frac{d}{dt} v(t) = \frac{d}{dt} (2t) = 2 \]
4. Найти ускорение в момент времени \( t = 3.5 \) секунд:
\[ a(3.5) = 2 \text{ м/с}^2 \]

Ответ: \(7 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42804: Для нахождения скорости и ускорения точки в момент времени \( t = 1 \) секунда, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t) = 2t + 1 \]
2. Найти скорость в момент времени \( t = 1 \) секунда:
\[ s'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \, \text{м/с} \]
3. Найти вторую производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
4. Найти ускорение в момент времени \( t = 1 \) секунда:
\[ s'(1) = 2 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(3 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42805: Для нахождения скорости и ускорения в момент времени \( t = 2,1 \) секунд для закона движения \( s(t) = t^2 + t \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \) для определения скорости \( v(t) \):
\[ v(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t) = 2t + 1 \]
2. Подставить \( t = 2,1 \) в формулу для скорости \( v(t) \):
\[ v(2,1) = 2 \cdot 2,1 + 1 = 4,2 + 1 = 5,2 \text{ м/с} \]
3. Найти вторую производную функции \( s(t) \) для определения ускорения \( a(t) \):
\[ a(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
4. Подставить \( t = 2,1 \) в формулу для ускорения \( a(t) \):
\[ a(2,1) = 2 \text{ м/с}^2 \]

Ответ: \(5,2 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42806: Для нахождения скорости и ускорения точки, движение которой задается формулой \( s(t) = t^2 + t \), в момент времени \( t = 2 \) секунды, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \), чтобы определить скорость:
\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t) = 2t + 1 \]
2. Найти значение скорости в момент времени \( t = 2 \):
\[ v(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \text{ м/с} \]
3. Найти вторую производную функции \( s(t) \), чтобы определить ускорение:
\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
4. Найти значение ускорения в момент времени \( t = 2 \):
\[ a(2) = 2 \text{ м/с}^2 \]

Ответ: \(5 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №42807: Для нахождения скорости и ускорения точки в момент времени \( t = 3.5 \) секунд, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t) = 2t + 1 \]
2. Подставить \( t = 3.5 \) в производную \( s'(t) \) для нахождения скорости:
\[ s'(3.5) = 2 \cdot 3.5 + 1 = 7 + 1 = 8 \, \text{м/с} \]
3. Найти вторую производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2 \]
4. Подставить \( t = 3.5 \) во вторую производную \( s'(t) \) для нахождения ускорения:
\[ s'(3.5) = 2 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ: \(8 м/с, 2 м/с^2\).

Решение №48966: Для нахождения мгновенной скорости материальной точки, движущейся по закону \( s(t) = 2t^2 + 3 \), в момент времени \( t_0 = 2 \) секунды, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + 3) = 4t \]
2. Подставить значение \( t_0 = 2 \) в производную для нахождения мгновенной скорости в этот момент времени:
\[ s'(2) = 4 \cdot 2 = 8 \]
3. Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в момент \( t_0 = 2 \) секунды равна 8 м/с.

Ответ: 8 м/с.

Решение №48967: Для нахождения средней скорости тела, движущегося по закону \( s(t) = 5t^2 \), при изменении времени от \( t_0 = 1 \) с до \( t_1 = 3 \) с, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти перемещение тела в начальный момент времени \( t_0 = 1 \) с:
\[ s(1) = 5 \cdot 1^2 = 5 \text{ м} \]
2. Найти перемещение тела в конечный момент времени \( t_1 = 3 \) с:
\[ s(3) = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45 \text{ м} \]
3. Вычислить изменение перемещения \( \Delta s \) за интервал времени от \( t_0 \) до \( t_1 \):
\[ \Delta s = s(3) - s(1) = 45 \text{ м} - 5 \text{ м} = 40 \text{ м} \]
4. Вычислить изменение времени \( \Delta t \):
\[ \Delta t = t_1 - t_0 = 3 \text{ с} - 1 \text{ с} = 2 \text{ с} \]
5. Найти среднюю скорость \( v_{\text{ср}} \) тела за данный интервал времени:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{40 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 20 \text{ м/с} \]

Ответ: 20 м/с.

Решение №48968: Для нахождения мгновенной скорости тела в момент \( t_0 = 1 \) секунда, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s(t) = 5t^2 \] \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(5t^2) = 10t \]
2. Подставить \( t_0 = 1 \) в производную \( s'(t) \):
\[ s'(1) = 10 \cdot 1 = 10 \]

Ответ: 10 в м/с.

Решение №49021: Для нахождения производной функции \( s(t) = t^2 \) в точке \( t = \frac{1}{2} \) и определения механического смысла найденной величины, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t \]
2. Подставить значение \( t = \frac{1}{2} \) в найденную производную:
\[ s'(\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]
3. Интерпретировать механический смысл найденной величины:
В данном контексте функция \( s(t) = t^2 \) представляет собой закон движения материальной точки по координатной прямой, где \( s \) — это координата точки в момент времени \( t \). Производная \( s'(t) \) представляет собой скорость движения точки в момент времени \( t \).
4. Таким образом, \( s'(\frac{1}{2}) = 1 \) означает, что скорость материальной точки в момент времени \( t = \frac{1}{2} \) равна 1.

Ответ: 1. Величина \(s'(\frac{1}{2})=1\) задает мгновенную скорость материальной точки в момент времени \(t_0=\frac{1}{2}\).

Решение №49022: Для нахождения производной функции \( s(t) = t^3 \) и вычисления значения \( s'(2) \), а также для определения механического смысла найденной величины, выполним следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2 \]
2. Вычислить значение производной в точке \( t = 2 \):
\[ s'(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \]
3. Определить механический смысл найденной величины \( s'(2) \):
\[ s'(t) \text{ представляет собой скорость материальной точки в момент времени } t. \] \[ \text{Таким образом, } s'(2) = 12 \text{ означает, что скорость материальной точки в момент времени } t = 2 \text{ равна 12 единицам.} \]

Ответ: 12

Решение №49109: Для нахождения скорости движения тела в момент времени \( t_0 = 5 \) с, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( s(t) \):
\[ s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 10} \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ s'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{4t^2 - 6t + 10} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{4t^2 - 6t + 10}} \cdot \frac{d}{dt} (4t^2 - 6t + 10) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dt} (4t^2 - 6t + 10) = 8t - 6 \] Подставим обратно: \[ s'(t) = \frac{1}{2 \sqrt{4t^2 - 6t + 10}} \cdot (8t - 6) = \frac{8t - 6}{2 \sqrt{4t^2 - 6t + 10}} = \frac{4t - 3}{\sqrt{4t^2 - 6t + 10}} \]
2. Подставить \( t_0 = 5 \) в производную \( s'(t) \):
\[ s'(5) = \frac{4 \cdot 5 - 3}{\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 10}} \] Вычислим числитель: \[ 4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17 \] Вычислим знаменатель: \[ 4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 10 = 4 \cdot 25 - 30 + 10 = 100 - 30 + 10 = 80 \] Подставим в формулу: \[ s'(5) = \frac{17}{\sqrt{80}} \] Упростим знаменатель: \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5} \] Итого: \[ s'(5) = \frac{17}{4 \sqrt{5}} = \frac{17}{4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{17 \sqrt{5}}{20} \]
3. Скорость движения тела в момент времени \( t_0 = 5 \) с:
\[ v(5) = s'(5) = \frac{17 \sqrt{5}}{20} \]

Ответ: \(\frac{17}{9} м/с\).