Экзамены с этой задачей: Физический смысл производной

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Определение производной,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Тело движется по координатной прямой по закону \(s(t) =\sqrt{4t^2-6t+10}\) (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите скорость движения тела в момент времени \(t_0 = 5 с\). Ответ дать в м/с.

Ответ

\(\frac{17}{9} м/с\).

Решение № 49109:

Для нахождения скорости движения тела в момент времени \( t_0 = 5 \) с, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( s(t) \): </li> \[ s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 10} \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ s'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{4t^2 - 6t + 10} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{4t^2 - 6t + 10}} \cdot \frac{d}{dt} (4t^2 - 6t + 10) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dt} (4t^2 - 6t + 10) = 8t - 6 \] Подставим обратно: \[ s'(t) = \frac{1}{2 \sqrt{4t^2 - 6t + 10}} \cdot (8t - 6) = \frac{8t - 6}{2 \sqrt{4t^2 - 6t + 10}} = \frac{4t - 3}{\sqrt{4t^2 - 6t + 10}} \] <li> Подставить \( t_0 = 5 \) в производную \( s'(t) \): </li> \[ s'(5) = \frac{4 \cdot 5 - 3}{\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 10}} \] Вычислим числитель: \[ 4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17 \] Вычислим знаменатель: \[ 4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 10 = 4 \cdot 25 - 30 + 10 = 100 - 30 + 10 = 80 \] Подставим в формулу: \[ s'(5) = \frac{17}{\sqrt{80}} \] Упростим знаменатель: \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5} \] Итого: \[ s'(5) = \frac{17}{4 \sqrt{5}} = \frac{17}{4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{17 \sqrt{5}}{20} \] <li> Скорость движения тела в момент времени \( t_0 = 5 \) с: </li> \[ v(5) = s'(5) = \frac{17 \sqrt{5}}{20} \] </ol> Ответ: <br> Скорость движения тела в момент времени \( t_0 = 5 \) с составляет \( \frac{17 \sqrt{5}}{20} \) м/с.