Решение №39863: а) \(S = \fraq{1}{2}a \cdot h_{a}\); \(h_{a1} = 4h_{a}\), следовательно, \(S_{1} = \fraq{1}{2}a_{1}h_{1} = \fraq{1}{2} \cdot 4a \cdot 4h_{a} = 16S\) Ответ: уведичится в 16 раз. б) \(S = \fraq{1}{2}a \cdot h_{a}\); \(h_{a1} =\fraq{h_{a}}{3}\), следовательно, \(S_{1} = \fraq{1}{2} a_{1}h_{a1} = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{a}{3} \cdot \fraq{h_{a}}{3} = \fraq{1}{9}S\) Ответ: уменьшится в 9 раз. в) \(S = \fraq{1}{2} a \cdot h_{a}\); \(\fraq{h_{a1}}{h_{a}} = \fraq{a_{1}}{a} = \fraq{1}{n}\), следовательно, \(S_{1} = \fraq{1}{2} a_{1}h_{a1} = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{a}{n} \fraq{h_{a}}{n} = \fraq{S}{n^{2}}\) Ответ: уменьшится в \(n^{2}\) раз.

Ответ: а) Ответ: уведичится в 16 раз. б) Ответ: уменьшится в 9 раз. в) Ответ: уменьшится в \(n^{2}\) раз.

Решение №39864: а) уменьшить в \(\sqrt{25} = 5\) раз; б) увеличить в \(\sqrt{49} = 7\) раз; в) увеличить в \(\sqrt{n^{2}} = n\) раз;

Ответ: а) уменьшить в \(\sqrt{25} = 5\) раз; б) увеличить в \(\sqrt{49} = 7\) раз; в) увеличить в \(\sqrt{n^{2}} = n\) раз;

Решение №39865: Нет. Отношение площадей треугольников может быть равно 4 и для неподобных треугольников

Ответ: NaN

Решение №39866: a) \(h_{a} < h_{b} < h_{c} \Rightarrow a > b > с\) это следует из того, что \(S = \fraq{1}{2}a \cdot h_{a} = \fraq{1}{2}b \cdot h_{b} = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); б) \(c < a < b \Rightarrow h_{c} > h_{a} > h_{b}\); в) \(h_{b} > h_{c} \Rightarrow b < c\), но \(a < b\), следовательно, \(a < c\).

Ответ: a) \(a > b > с\); б) \(c < a < b\); в) \(b < c\), но \(a < b\), \(a < c\).

Решение №39867: a) \(АС = 6\) см; \(АВ = 4\) см. \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot AC = \fraq{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 (см^2)\). б) \(S_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \fraq{1}{4}S_{ABC} = 3 (см^2)\). в) \(СВ_{1} = 3,8\) см; \(А_{1}Н = 1,6\) см. \(S_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \fraq{1}{2}СВ_{1} \cdot А_{1}Н = \fraq{1}{2} \cdot 3,8 \cdot 1,6 \approx 3 (см^2)\).

Ответ: a) \(АС = 6\) см; \(АВ = 4\) см. \(S_{ABC} = 12 (см^2)\); б) \(3 (см^2)\); в) \(3 (см^2)\).

Решение №39868: \(h_{a} = 5,5\) см; \(h_{b} = 4,4\) см; \(h_{c} = 5,9\) см. \(S = \fraq{1}{2}h_{a} \cdot a = 16,5 (см^2)\); \(S = \fraq{1}{2}h_{b} \cdot b = 16,5 (см^2)\); \(S = \fraq{1}{2}h_{c} \cdot c = 16,5 (см^2)\).

Ответ: \(h_{a} = 5,5\) см; \(h_{b} = 4,4\) см; \(h_{c} = 5,9\) см. \(S = \fraq{1}{2}h_{a} \cdot a = 16,5 (см^2)\); \(S = \fraq{1}{2}h_{b} \cdot b = 16,5 (см^2)\); \(S = \fraq{1}{2}h_{c} \cdot c = 16,5 (см^2)\).

Решение №39869: a) \(\fraq{S_{ABC}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = (\fraq{AB}{A_{1}B_{1}})^2 = 3^2 = 9\), следовательно, \(S_{ABC} = 9S_{A_{1}B_{1}C_{1}} = 9 \cdot 9 = 81 (см^2)\). б) \(\fraq{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{ABC}} = (\fraq{A_{1}B_{1}}{AB})^2 = (\fraq{1}{3})^2 = \fraq{1}{9}\), следовательно, \(S_{A_{1}B_{1}C_{1}} = \fraq{S_{ABC}}{9} = \fraq{9}{9} = 1 (см^2)\).

Ответ: a) \(81 (см^2)\); б) \(1 (см^2)\).

Решение №39870: Так как оба треугольника равносторонние, они подобны, следовательно: \(\fraq{S_{1}}{S_{2}} = (\fraq{a_{1}}{a_{2}})^2 = (\fraq{2}{6})^2 = (\fraq{1}{3})^2 = \fraq{1}{9}\).

Ответ: \(S_{1} : S_{2} = 1 : 9\).

Решение №39871: a) \((\fraq{AB}{A_{1}B_{1}})^2 = \fraq{S_{ABC}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}} = \fraq{24}{6} = 4\), следовательно: \(\fraq{AB}{A_{1}B_{1}} = 2\); \(A_{1}B_{1} = \fraq{AB}{2}\), тогда \(A_{1}B_{1} = \fraq{8}{2} = 4\) (см). б) \(\fraq{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{ABC}} = (\fraq{B_{1}C_{1}}{BC})^2 = (\fraq{6}{2})^2 = 3^2 = 9\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{9}S_{A_{1}B_{1}C_{1}}\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{9} \cdot 18 = 2 (см^2)\).

Ответ: a) 4 (см); б) \(2 (см^2)\).

Решение №39872: По свойству средней линии треугольника она параллельна его стороне и вдвое меньше нее, следовательно: \(b_{1} = \fraq{b}{2}\) и \(a_{1} = \fraq{a}{2}\), тогда \(S_{a_{1}b_{1}c_{1}} = \fraq{1}{2}a_{1}b_{1} = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{a}{2} \cdot \fraq{b}{2} = \fraq{ab}{8}\); \(S_{a_{1}b_{1}c_{1}} = \fraq{6 \cdot 8}{8} = 6 (см^2)\).

Ответ: \(6 (см^2)\).

Решение №39873: \(S_{abc} = 4S_{a_{1}b_{1}c_{1}}\) (см. задачу № 617), тогда \(S_{abc} = 4 \cdot 5 = 20 (см^2)\).

Ответ: \(20 (см^2)\).

Решение №39874: Наибольшая высота соответствует наименьшей стороне и наоборот. Из равенства \(S = \fraq{1}{2}ah_{a} = \fraq{1}{2}bh_{b} = \fraq{1}{2}ch_{c}\) находим стороны: \(b = \fraq{ah_{a}}{h_{b}}\) и \(c = \fraq{ah_{a}}{h_{c}}\); \(b = \fraq{100 \cdot 21}{28} = 75\) (см); \(с = \fraq{100 \cdot 21}{60} = 35\) (см). Периметр равен: \(Р = a + b + c = 100 + 75 + 35 = 210\) (см).

Ответ: 210 см.

Решение №39875: Из равенства площадей \(S = \fraq{1}{2}ah_{a} = \fraq{1}{2}bh следует: \(h_{a} = \fraq{bh_{b}}{a}}; \(h_{a} = \fraq{18 \cdot 4}{12} = 6\) (см).

Ответ: 6 см.

Решение №39876: Из равенства площадей \(S = h_{a}a = h_{b}b\) следует: \(b = \fraq{h_{a}a}{h_{b}}\); \(b = \fraq{6 \cdot 8}{4} = 12\) (см).

Ответ: 12 см.

Решение №39877: \(AB = ВС\) по определению равнобедренного треугольника. Из равенства площадей: \(S = \fraq{1}{2}AB \cdot CD = \fraq{1}{2}BC \cdot HA\); тогда \(\fraq{CD}{HA} = \fraq{BC}{AB} = 1\) и, следовательно, \(CD = HA\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39878: Из равенства площадей: \(S = \fraq{1}{2}ah_{a} = \fraq{1}{2}bh_{b} = \fraq{1}{2}ch_{c}\), тогда: \(\fraq{a}{b} = \fraq{h_{b}}{h_{a}} = 1\) и \(а = b\); \(\fraq{a}{c} = \fraq{h_{c}}{h_{a}} = 1\) и \(а = с\), следовательно, \(а = b = с\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39879: \(\fraq{S_{1}}{S_{2}} = \kappa^2 = 3^2 = 9\), тогда \(S_{1} = 9S_{2}\). По условию: \(S_{1} - S_{2} = 24 (см^2)\), тогда \(9S_{2} - S_{2} = 8S_{2} = 24 (см^2)\), отсюда \(S_{2} = \fraq{24}{8} = 3 (см^2)\); \(S_{1} = 9S_{2} = 9 \cdot 3 = 27 (см^2)\).

Ответ: \(27 (см^2)\); \(3 (см^2)\).

Решение №39880: Пусть \(\kappa\) - коэффициент подобия, тогда \(\fraq{S_{2}}{S_{1}} = \kappa^2\); \(\kappa = \sqrt{\fraq{S_{2}}{S_{1}}} = \sqrt{\fraq{300}{75}} = \sqrt{4} = 2\). Для периметров справедливо: \(\fraq{P_{2}}{P_{1}} = \kappa\); \(P_{2} = \kappaP_{1} = 2 \cdot 54 = 108\) (м).

Ответ: 108 м.

Решение №39881: Коэффициент подобия: \(\kappa = \fraq{a}{a_{1}} = \fraq{2}{3}\); тогда для площадей \(\fraq{S}{S_{1}} = \kappa^2 = (\fraq{2}{3})^2 = \fraq{4}{9}\); \(S = \fraq{4}{9}S_{1}\); \(S = \fraq{4}{9} \cdot 81 = 36 (см^2)\).

Ответ: \(36 (см^2)\).

Решение №39882: Коэффициент подобия: \(\kappa = \fraq{a_{1}}{a} = \fraq{1}{1000}\); \(\fraq{S_{1}}{S} = \kappa^2\); \(S = \fraq{S_{1}}{\kappa^2}\); \(S = 2,5 \cdot 1000^2 см^2 = 250 м^2\).

Ответ: \(250 м^2\).

Решение №39883: Из равенства площадей: \(S = ah_{a} = bh_{b}\); \(a = b \cdot \fraq{h_{b}}{h_{a}}\); \(P = 2(a + b) = 2(b \cdot \fraq{h_{b}}{h_{a}} + b)\), следовательно, \(b = \fraq{Ph_{a}}{2(h_{a} + h_{b})}\); \(b = \fraq{56 \cdot 6}{2 \cdot (6 + 8)} = 12\) (см); \(a = \fraq{56 \cdot 8}{2 \cdot (6 + 8)} = 16\) (см).

Ответ: 16 см и 12 см.

Решение №39884: Площадь ромба \(S = \fraq{1}{2}d_{1}d_{2} = \fraq{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 (см^2)\). Сторону ромба найдем по теореме Пифагора: \(a^2 = (\fraq{d_{1}}{2})^2 + (\fraq{d_{2}}{2})^2 = (\fraq{30}{2})^2 + (\fraq{40}{2})^2 = 15^2 + 20^2 = 625\); \(а = 25\) см. Из равенства площадей: \(а \cdot h_{a} = S\), тогда \(h_{a} = \fraq{S}{a} = \fraq{600}{25} = 24\) (см).

Ответ: 24 см.

Решение №39885: Пусть \(а = 3х\), тогда \(b = 4х\). По теореме Пифагора \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9x^2 + 16x^2} = 5х\). Из равенства площадей: \(S = \fraq{1}{2}ab = \fraq{1}{2}ch_{c}\); \(ab = ch_{c}\); \(3x \cdot 4x = 5x \cdot 12\); \(12x = 5 \cdot 12\); \(х = 5\); \(а = 3x = 3 \cdot 5 = 15\) (см); \(b = 4x = 4 \cdot 5 = 20\) (см).

Ответ: 15 см и 20 см.

Решение №39886: Из равенства площадей: \(S = h_{a}a = h_{b}b\), тогда \(\fraq{a}{b} = \fraq{h_{b}}{h_{a}} = 1\), следовательно, \(а = b\).

Ответ: NaN

Решение №39887: Из равенства площадей: \(S = \fraq{1}{2}ab = \fraq{1}{2}h_{c}c\); \(h_{c} \cdot c = ab\); \(h_{c} = \fraq{ab}{c}\).

Ответ: NaN

Решение №39888: \(\Delta BA_{1}C_{1} \sim \Delta ВАС\) с коэффициентом подобия \(\kappa = \sqrt{\fraq{S}{S_{1}}} = \sqrt{2}\), тогда: \(\fraq{BA}{BA_{1}} = \sqrt{2}\); \(\fraq{BA}{BA_{1}} = \fraq{BA_{1} + A_{1}A}{BA_{1}} = 1 + \fraq{A_{1}A}{BA_{1}} = \sqrt{2}\); \(\fraq{A_{1}A}{BA_{1}} = \sqrt{2} - 1\). Аналогично \(\fraq{CC_{1}}{BC_{1}} = \sqrt{2} - 1\).

Ответ: \(A_{1}A : BA_{1} = (\sqrt{2} - 1) : 1\); \(CC_{1} : BC_{1}} = (\sqrt{2} - 1) : 1\).

Решение №39889: Отношение сторон: \(\fraq{a_{1}}{a} = \sqrt{\fraq{S_{1}}{S_{1} + S_{2}}} = \sqrt{\fraq{9}{9 + 16}} = \fraq{3}{5}\) тогда: \(EB : AB = 3 : 5\) и \(EB : EA = 3 : 2\); \(BC : BD = 3 : 5\) и \(BC : CD = 3 : 2\).

Ответ: NaN

Решение №39890: Из равенства площадей \(S = \fraq{1}{2}ah_{a} = \fraq{1}{2}bh_{b} = \fraq{1}{2}ch_{c}\), следует \(a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} = c \cdot h_{c} \Rightarrow a : b : c = \fraq{1}{h_{a}} : \fraq{1}{h_{b}} : \fraq{1}{h_{c}}\).

Ответ: NaN

Решение №39891: \(S_{ABC} = S_{AMB} + S_{MBC} = \fraq{1}{2}MH \cdot AB + \fraq{1}{2}ME \cdot BC\), но \(AB = BC\) по условию, тогда \(S = \fraq{1}{2}AB \cdot (MH + ME)\). \(S\) и \(АВ\) - постоянны, следовательно, и сумма \(МН + ME\) постоянна, то есть не зависит от выбора \(М\).

Ответ: NaN

Решение №39892: \(AM = МС\) по определению медианы. \(\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) по теореме о сумме углов треугольника. Проводим среднюю линию \(MM_{1}\), по ее свойству \(MM_{1} \parallel AB\), тогда \(\angle M_{1}MC = 30^\circ\). \(\Delta АВС \sim \Delta MM_{1}C\), тогда \(ВM_{1} = M_{1}C\) (из подобия) и высота является медианой, следовательно, \(\Delta МВС\) - равнобедренный \(\Rightarrow МВ = МС\), \(\angle MBC = \angle MCB = 60^\circ\), но тогда \(\angle BMC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\) и \(\Delta МВС\) - равносторонний по признаку.

Ответ: NaN