№39908
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, Применение площадей,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
В прямоугольном треугольнике \(АВС \angle А = 30^\circ\), \(ВМ\) - медиана, проведенная к гипотенузе. Докажите, что треугольник \(МВС\) равносторонний.
Ответ
NaN
Решение № 39892:
\(AM = МС\) по определению медианы. \(\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) по теореме о сумме углов треугольника. Проводим среднюю линию \(MM_{1}\), по ее свойству \(MM_{1} \parallel AB\), тогда \(\angle M_{1}MC = 30^\circ\). \(\Delta АВС \sim \Delta MM_{1}C\), тогда \(ВM_{1} = M_{1}C\) (из подобия) и высота является медианой, следовательно, \(\Delta МВС\) - равнобедренный \(\Rightarrow МВ = МС\), \(\angle MBC = \angle MCB = 60^\circ\), но тогда \(\angle BMC = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\) и \(\Delta МВС\) - равносторонний по признаку.