Решение №39968: По двум сторонам можно, третья сторона находится по теореме Пифагора. А по двум углам - нельзя, т. к. существует бесконечно много подобных треугольников с данными углами, но разными сторонами.

Ответ: По двум сторонам можно, третья сторона находится по теореме Пифагора. А по двум углам - нельзя, т. к. существует бесконечно много подобных треугольников с данными углами, но разными сторонами.

Решение №39969: \(KM = \fraq{a}{\tan{\alpha}}\); \(KN = \fraq{a}{\sin{\alpha}}\).

Ответ: \(KM = \fraq{a}{\tan{\alpha}}\); \(KN = \fraq{a}{\sin{\alpha}}\).

Решение №39970: а) верно; б) неверно, \(MK = KN\cos{\alpha}\); в) неверно, \(KN = \fraq{MN}{\sin{\alpha}}\); г) верно.

Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.

Решение №39971: \(\alpha = 40^\circ\); \(c = 5,1\) см. \(\beta = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\); \(a = c \cdot \sin{\alpha} = 5,1 \cdot \sin{40^\circ} \approx 3,3\) (см); \(b = c \cdot \cos{alpha} = 5,1 \cdot \cos{40^\circ} \approx 3,9\) (см).

Ответ: \(\alpha = 40^\circ\); \(c = 5,1\) см; \(\beta = 50^\circ\); \(a \approx 3,3\) см; \(b \approx 3,9\) см.

Решение №39972: \(a = 4\) см; \(b = 3,5\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3,5^2} = \sqrt{16 + 12,25} \approx 5,3\) (см); \(\sin{\alpha} \approx \fraq{a}{c} \approx \fraq{4}{5,3} \approx 0,75 \Rightarrow \alpha \approx 49^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} \approx \fraq{3,5}{5,3} \approx 0,66 \Rightarrow \beta \approx 41^\circ\).

Ответ: \(a = 4\) см; \(b = 3,5\) см; \(c \approx 5,3\) см; \(\alpha \approx 49^\circ\); \(\beta \approx 41^\circ\).

Решение №39973: \(c = \fraq{a}{\cos{\beta}}\); \(c = \fraq{7}{\cos{60^\circ}} = 2 \cdot 7 = 14\) (см).

Ответ: 14 см.

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(a = c\sin{\alpha}; \(a = 20 \cdot 0,6 = 12\) (см); \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256}= 16\) (см).

Решение №39975: \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{4\sqrt{2}}{8} = \fraq{\sqrt{2}}{2}\); \(\alpha = 45^\circ\); \(\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\), \(45^\circ\).

Решение №39976: a) \(с = 8\) см; \(\alpha = 30^\circ\). \(b = c\cos{\alpha} = 8\cos{30^\circ} = 8 \cdot \fraq{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) (см); \(a = c\sin{\alpha} =8\sin{30^\circ} = 8 \cdot \fraq{1}{2} = 4\) (см); \(\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). б) \(с = 10\) см; \(\alpha = 42^\circ\). \(b = c\cos{\alpha} = 10\cos{42^\circ} \approx 7,4\) (см); \(a = c\sin{\alpha} = 10\sin{42^\circ} \approx 6,7\) (см); \(\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ\).

Ответ: a) \(\beta = 60^\circ\), \(a = 4\), \(b = 4\sqrt{3}\); б) \(\beta = 48^\circ\), \(a \approx 6,7\), \(b \approx 7,4\).

Решение №39977: a) \(а = 2\) см; \(\beta = 45^\circ\). \(c = \fraq{a}{\cos{\beta}} = \fraq{2}{\cos{45^\circ}} = 2\sqrt{2}\) (см); \(b = a = 2\) (см); \(\alpha = \beta = 45^\circ\). б) \(a = 4\) см; \(\alpha = 18^\circ\). \(c = \fraq{a}{\sin{\alpha} = \fraq{4}{\sin{18^\circ} \approx 12,9\) (см); \(b = \fraq{a}{\tg{\alpha} = \fraq{4}{\tg{18^\circ} \approx 12,3\) (см); \(\beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ\).

Ответ: a) \(\alpha = 45^\circ\), \(b = 2\), \(c = 2\sqrt{2}\); б) \(\beta = 72^\circ\), \(c \approx 12,94\), \(b \approx 12,31\).

Решение №39978: a) \(c = 12\) см; \(\alpha = 28^\circ\). \(a = c\sin{\alpha} = 12\sin{28^\circ} \approx 5,6\) см; \(b = c\cos{\alpha} = 12\cos{28^\circ} \approx 10,6\) см; \(\beta = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ\). б) \(a = 8\) см; \(\beta = 40^\circ\). \(c = \fraq{a}{\cos{\beta}} = \fraq{8}{\cos{40^\circ}} = 10,4\) (см); \(b = a\tan{\beta} = 8\tan{40^\circ} = 6,7\) (см); \(\alpha = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

Ответ: a) \(\beta = 62^\circ\), \(a \approx 5,63\), \(b \approx 10,6\) см; б) \(\alpha = 50^\circ\), \(c \approx 10,44\), \(b \approx 6,71\).

Решение №39979: a) \(c = 9\sqrt{2}\) см; \(а = 9\) см. \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{9}{9\sqrt{2}} = \fraq{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = 45^\circ\); \(\beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\); \(b = а = 9\) см. б) \(c = 25\) см; \(a = 24\) см. \(\sin{\alpha} = \fraq{24}{25} = 0,96\); \(\alpha \approx 74^\circ\); \(\beta \approx 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ\); \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7\) (см).

Ответ: a) \(b = 9\), \(\alpha = \beta = 45^\circ\); б) \(b = 7\), \(\alpha \approx 74^\circ\), \(\beta \approx 16^\circ\).

Решение №39980: a) \(а = 6\sqrt{3}\) см; \(b = 6\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 \cdot 3 + 36} = \sqrt{144} = 12\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{6\sqrt{3}}{12} = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); \(\alpha = 60^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{6}{12} = \fraq{1}{2}\); \(\beta = 30^\circ\). б) \(а = 9\) см; \(b = 40\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{81 \cdot 1600} = 41\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{9}{41} \approx 0,22\); \(\alpha \approx 13^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{40}{41} \approx 0,98\); \(\beta \approx 77^\circ\).

Ответ: a) \(c = 12\), \(\alpha = 60^\circ\), \(\beta = 30^\circ\); б) \\(c = 41\), \(\alpha \approx 13^\circ\), \(\beta \approx 77^\circ\).

Решение №39981: a) \(а = 6\) см; \(с = 10\) см. \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{6}{10} = 0,6\); \(\alpha \approx 37^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{8}{10} = 0,8\); \(\beta \approx 53^\circ\). б) \(а = 5\) см; \(b = \sqrt{11}\) см. \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 11} = \sqrt{36} = 6\) (см); \(\sin{\alpha} = \fraq{a}{c} = \fraq{5}{6}\); \(\alpha \approx 56^\circ\); \(\sin{\beta} = \fraq{b}{c} = \fraq{\sqrt{11}}{6}\); \(\beta \approx 34^\circ\).

Ответ: a) \(b = 8\), \(\alpha \approx 37^\circ\), \(\sin{\beta} \approx 53^\circ\); б) \(c = 6\), \(\alpha \approx 56^\circ\), \(\sin{\beta} \approx 34^\circ\).

Решение №39982: \(\tan{A} = \fraq{BD}{AD} \Rightarrow BD = AD \cdot \tan{A}\); тогда \(\tan{C} = \fraq{BD}{DC} \Rightarrow BD = \tan{C} \cdot DC\); \(\tan{C} \cdot DC = \tan{A} \cdot AD\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39983: \(\sin{A} = \fraq{BD}{AB}\); тогда \(AB = \fraq{BD}{\sin{A}}. С другой стороны, \(\cos{A} = \fraq{AB}{AC}\), тогда \(AB = AC \cdot \cot{A}\); следовательно, \(\fraq{BD}{\sin{A}} = AC \cdot \cos{A}\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39984: \(\Delta АОВ\) - равнобедренный, т. к. \(АО = OB\) (свойство диагоналей прямоугольника), тогда: \(\angle OBA = \angle BAO = 90^\circ - \fraq{\alpha}{2} = 70^\circ\). \(b = DA = BD\sin{\angle DBA} = 10\sin{70^\circ} \approx 9,4\) (см); \(a = AB = BD\cos{\angle DBA} = 10\cos{70^\circ} \approx 3,4\) (см).

Ответ: \(\approx 9,4\); \(\approx 3,4\).

Решение №39985: \(\sin{\alpha} = \fraq{BH}{AB}\), тогда \(AB = \fraq{BH}{\sin{\alpha} = \fraq{16}{8} \cdot 17 = 34\) (см). \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30\) (см). По свойству высоты равнобедренного треугольника \(ВН\) - медиана, тогда \(AC = 2АН\); \(АС = 2 \cdot 30 = 60\) (см).

Ответ: 60 см.

Решение №39986: По свойству диагоналей ромба: \(AO = OC = AC : 2\); \(BO = OD = BD : 2\); \(AC\) и \(BD\) - биссектрисы, тогда: \(\tan{\fraq{\alpha}{2}} = \fraq{d_{1}}{2} : \fraq{d_{2}}{2} = \fraq{d_{1}}{d_{2}} = \fraq{10}{24} = \fraq{5}{12}\); \(\fraq{\alpha}{2} \approx 23^\circ\); \(\alpha = \angle BCD = \angle BAD \approx 45^\circ\); \(\angle ADC = \angle ABC \approx 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).

Ответ: \(\approx 45^\circ\); \(\approx 135^\circ\).

Решение №39987: a) \(BD =4\sqrt{3}\) (см); \(\angle DBC = 60^\circ\). \(BC = \fraq{BD}{\cos{\angle DBC}} = \fraq{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\) (см); \(\angle DCB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\); \(AB = BC\tan{30^\circ} = 8 \cdot \fraq{1}{\sqrt{3}} = \fraq{8\sqrt{3}}{3}\) (см); \(\angle BAD = 60^\circ\). б) \(AD = 9\) см; \(\angle C = 10^\circ\). \(\angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ\); \(AB = \fraq{AD}{\cos{\angle A}} = \fraq{9}{\cos{80^\circ}} \approx 52\) (см); \(AC = \fraq{AB}{\cos{\angle A}} \approx \fraq{52}{\cos{80^\circ}} \approx 298\) (см); \(BC = AC\cos{10^\circ} \approx 298\cos{10^\circ\) \approx 294\) (см).

Ответ: a) \(AB = 8\), \(BC = 8\sqrt{3}\), \(AC = 16\), \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\); б) \(BC = \approx 294\), \(AB \approx 52\), \(AC \approx 298\), \(\angle A = 80^\circ\).

Решение №39988: \(BD = 3\) см; \(DC = 4\) см. \(BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = 5\) (см); \(\sin{\angle C} = \fraq{BD}{BC} = \fraq{3}{5}\); \(\angle C \approx 37^\circ\); \(\angle A = 90^\circ - \angle C \approx = 53^\circ\); \(AC = \fraq{BC}{\cos{\angle C}} = \fraq{5}{\cos{37^\circ}} \approx 6,3\) (см); \(AB = AC\sin{\angle C} \approx 6,3 \cdot \fraq{3}{5} \approx 3,8\) (см).

Ответ: \(AB \approx 3,8\) (см); \(BC = 5\) (см); \(AC = \approx 6,3\) (см); \(\angle A \approx = 53^\circ\); \(\angle C \approx 37^\circ\).

Решение №39989: \(\angle CDH = 180^\circ - 110^\circ - 70^\circ\); \(\angle HCD = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\); \(HD = AD - BC = 12 - 8 = 4\) (см); \(CD = \fraq{HD}{\cos{\angle CDH}} = \fraq{4}{\cos{70^\circ}} \approx 11,7\) (см); \(BA = CH = HD \tan{\angle CDH} = 4\tan{70^\circ\) \approx 11\) (см).

Ответ: \(\approx 11,7\) см; \(\approx 11\) см.

Решение №39990: \(\angle ABB_{1} = \angle ABC - 90^\circ = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ\); тогда \(\angle BAB_{1} = 45^\circ\) и \(\Delta АВB_{1}\) - равнобедренный; \(AB_{1} = AB\cos{45^\circ} = 10 \cdot \fraq{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) (см). Тогда \(AD = BC + 2AB_{1} = 8 + 10\sqrt{2}\), \(MN = \fraq{AD + BC}{2} = \fraq{16 + 10\sqrt{2}}{2} = 8 + 5\sqrt{2} \approx 15\) (см).

Ответ: \(\approx 15\) см.

Решение №39991: \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{a} = \fraq{11}{4,4} = \fraq{10}{4} = 2,5\); \(\alpha \approx 68^\circ\).

Ответ: \(\approx 68^\circ\).

Решение №39992: \(с = 415\) м; \(h = 321\) м. \(\sin{\alpha} = \fraq{h}{c} = \fraq{321}{415} \approx 0,78\); \(\alpha \approx 51^\circ\).

Ответ: \(\approx 50^\circ\).

Решение №39993: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a = c\sin{\alpha}\); \(b = c\cos{\alpha}\); \end{cases} \end{equation*} \) \(m = a + b = c(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})\); \(c = \fraq{m}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(a = \fraq{m\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(b = \fraq{m\cos{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\).

Ответ: \(c = \fraq{m}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(a = \fraq{m\sin{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\); \(b = \fraq{m\cos{\alpha}}{\sin{\alpha} + \cos{\alpha}}\);

Решение №39994: \(\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \beta = 90^\circ - \alpha\); тогда \(\alpha - \beta = \alpha - 90^\circ + \alpha = 2\alpha - 90^\circ = \varphi\); \(\alpha = \fraq{90^\circ + \varphi}{2}\); \(\beta = \fraq{90^\circ - \varphi}{2}\); тогда \(a = c\sin{\alpha} = c\cos{\fraq{\varphi}{2}}\); \(b = c\sin{\fraq{\varphi}{2}}\).

Ответ: \(a = c\sin{\alpha} = c\cos{\fraq{\varphi}{2}}\); \(b = c\sin{\fraq{\varphi}{2}}\).

Решение №39995: Пусть \(a_{c} = х\); \(b_{c} = 3х\). Высота \(h\), проведенная к гипотенузе: \(h = \sqrt{a_{c}b_{c}}\), тогда \(\tan{\beta} = \fraq{h}{a_{c}}\); \(4\tan{\alpha} = \fraq{h}{b_{c}}\); \(\tan{\beta} = \fraq{\sqrt{3}x}{x} = \sqrt{3}\); \(\beta = 60^\circ\) и \(\tan{\alpha} = \fraq{1}{\sqrt{3}}\); \(\alpha = 30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Решение №39996: Пусть \(CD = h\), a \(BD = x\), тогда \(\tan{\beta} = \fraq{h}{x}\); \(\tan{\alpha} = \fraq{h}{x + AB} = \fraq{h}{x + d}\); \(x = \fraq{h}{\tan{\beta}}\) и \(x = \fraq{h}{\tan{\alpha}} - d \Rightarrow d = \fraq{h}{\tan{\alpha}} - \fraq{h}{\tan{\beta}} = h \cdot \cot{\alpha} - h\cdot \cot{\beta} \Rightarrow h = \fraq{d}{\cot{\alpha} - \cot{\beta}}\).

Ответ: \(\fraq{d}{\cot{\alpha} - \cot{\beta}}\).

Решение №39997: \(AC = c = \sqrt{a^2 + b^2} = 50\) (см). Пусть \(AD = х\), тогда \(DC = 50 - х\). Пусть \(BD = h\); \(h = \fraq{ab}{c} = \fraq{30 \cdot 40}{50} = 24\) (см); \(h^2 = x(50 - х) \Rightarrow x^2 - 50x + 576 = 0; \(D_{1} = 625 - 576 = 49\); \(x = 25 \pm 7\); \(x_{1} = 32\) (см); \(x_{2} = 18\) (см). \(АМ = 50 : 2 = 25\) (см); тогда \(DM = AM - AD = 25 - 18 = 7\) (см); \(\tan{\angle DBM} = \fraq{DM}{DB} = \fraq{7}{24} \approx 0,29 \angle DBM \approx 16^\circ\).

Ответ: \(\angle DBM \approx 16^\circ\).