Решение №39914: a) \(\fraq{KN}{KM} = \cos \angle K\); б) \(\fraq{MN}{KN} = \tan \angle K\); в) \(\fraq{MN}{KM} = \sin \angle K\).

Ответ: a) \(\cos \angle K\); б) \(\tan \angle K\); в) \(\sin \angle K\).

Решение №39915: a) \(\sin \angle K = \fraq{MN}{KM}\); \(\sin \angle M = \fraq{KN}{MK}\), но \(KN > MN \Rightarrow \sin \angle M > sin \angle K\); б) \(\cos \angle K = \fraq{KN}{KM}\); \(\cos \angle M = \fraq{MN}{KM} \Rightarrow \cos \angle K > \cos \angle M\); в) \(\tan \angle K = \fraq{NM}{NK}\); \(\tan \angle M = \fraq{NK}{NM} \Rightarrow \tan \angle M > \tan \angle K\).

Ответ: a) \(\sin \angle M > sin \angle K\); б) \(\cos \angle K > \cos \angle M\); в) \(\tan \angle M > \tan \angle K\).

Решение №39916: a) \(\sin \alpha = 0,99 \Rightarrow \sin \alpha < 1 \Rightarrow \fraq{b}{c} < 1 \Rightarrow\) может; б) \(\sin \alpha = \sqrt{2} \Rightarrow \fraq{b}{c} > 1 \Rightarrow\) не может; в) \(\sin \alpha = \sin \sqrt{5} - 2 \Rightarrow \fraq{b}{c} = \sqrt{5} -2 < 1 \Rightarrow\) может. *При решении мы использовали то, что катет всегда меньше гипотенузы.

Ответ: a) Может; б) не может; в) может. *При решении мы использовали то, что катет всегда меньше гипотенузы.

Решение №39917: a) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \fraq{b}{c} \cdot \fraq{a}{c} = \fraq{ab}{c^2} \Rightarrow ab < c^2\), но \(а < с\) и \(b < с\) (катет всегда меньше гипотенузы) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \fraq{b}{c} \cdot \fraq{a}{c} = \fraq{ab}{c^2} \Rightarrow ab < c^2\), тогда и \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) не может быть равным единице; б) \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \fraq{a}{b} \cdot \fraq{b}{a} = \fraq{ab}{ab} = 1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла всегда равно единице.

Ответ: a) Не может быть равным единице; б) Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла всегда равно единице.

Решение №39918: \(\tan \alpha = \sqrt{2} \Rightarrow \alpha < 90^\circ \Rightarrow\) может; \(\tan \alpha = 0,01 \Rightarrow \alpha < 90^\circ \Rightarrow\) может; \(\tan \alpha = 100 \Rightarrow \alpha < 90^\circ \Rightarrow\) может.

Ответ: \(\tan \alpha = \sqrt{2} \Rightarrow\) может; \(\tan \alpha = 0,01 \Rightarrow\) может; \(\tan \alpha = 100 \Rightarrow\) может.

Решение №39919: a) \(\alpha = 30^\circ\); \(\sin \alpha = \sin 30^\circ = 0,5\); \(AB = 3,2\) см, \(BB_{1} = 1,6\) см; \(\sin \alpha = \fraq{1,6}{3,2} = 0,5\); \(AC = 4,2\) см; \(CC_{1} = 2,1\) см; \(\sin \alpha = \fraq{2,1}{4,2} = 0,5\); б) \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha = \sqrt{1 - 0,25} = \sqrt{0,75} \approx 0,87\); \(AB_{1} = 2,8\) см; \(\cos \alpha = \fraq{2,8}{3,2} \approx 0,87\); \(AC_{1} = 3,7\) см; \(\cos \alpha = \fraq{3,7}{4,2} \approx 0,88\).

Ответ: a) \(\alpha = 30^\circ\); \(\sin \alpha = \sin 30^\circ = 0,5\); \(AB = 3,2\) см, \(BB_{1} = 1,6\) см; \(\sin \alpha = \fraq{1,6}{3,2} = 0,5\); \(AC = 4,2\) см; \(CC_{1} = 2,1\) см; \(\sin \alpha = \fraq{2,1}{4,2} = 0,5\); б) \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha = \sqrt{1 - 0,25} = \sqrt{0,75} \approx 0,87\); \(AB_{1} = 2,8\) см; \(\cos \alpha = \fraq{2,8}{3,2} \approx 0,87\); \(AC_{1} = 3,7\) см; \(\cos \alpha = \fraq{3,7}{4,2} \approx 0,88\).

Решение №39920: a) \(\alpha = 60^\circ\); \(\cos 60^\circ = 0,5\); \(\sin 60^\circ \approx 0,87\). \(AB_{1} = 3,1\) см; \(BB_{1} = 2,7\) см; \(AB = 1,5\) см; \(\sin \alpha = \fraq{2,7}{3,1} \approx 0,87\); \(AC = 4,0\) см; \(СС_{1} = 3,4\) см; \(AC_{1} = 2,0\) см; \(\sin \alpha = \fraq{3,4}{4,0} = 0,85\); \(\cos \alpha = \fraq{1,5}{3,1} \approx 0,48\); \(\cos \alpha = \fraq{2}{4} = 0,5\); б) \(\tan \alpha = \fraq{2,7}{1,5} \approx 1,8\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{0,87}{0,48} \approx 1,8\); \(\tan \alpha = \fraq{3,4}{2} = 1,7\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{0,85}{0,5} = 1,7\).

Ответ: a) \(\alpha = 60^\circ\); \(\cos 60^\circ = 0,5\); \(\sin 60^\circ \approx 0,87\). \(AB_{1} = 3,1\) см; \(BB_{1} = 2,7\) см; \(AB = 1,5\) см; \(\sin \alpha = \fraq{2,7}{3,1} \approx 0,87\); \(AC = 4,0\) см; \(СС_{1} = 3,4\) см; \(AC_{1} = 2,0\) см; \(\sin \alpha = \fraq{3,4}{4,0} = 0,85\); \(\cos \alpha = \fraq{1,5}{3,1} \approx 0,48\); \(\cos \alpha = \fraq{2}{4} = 0,5\); б) \(\tan \alpha = \fraq{2,7}{1,5} \approx 1,8\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{0,87}{0,48} \approx 1,8\); \(\tan \alpha = \fraq{3,4}{2} = 1,7\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{0,85}{0,5} = 1,7\).

Решение №39921: \(а = 2,5\) см; \(b = 3\) см; \(c = 3,9\) см; \(\sin \alpha = \fraq{a}{c} = \fraq{2,5}{3,9} \approx 0,64\); \(\cos \alpha = \fraq{b}{c} = \fraq{3}{3,9} \approx 0,77\); \(\tan \alpha = \fraq{a}{b} = \fraq{2,5}{3} \approx 0,83\).

Ответ: \(а = 2,5\) см; \(b = 3\) см; \(c = 3,9\) см; \(\sin \alpha \approx 0,64\); \(\cos \alpha \approx 0,77\); \(\tan \alpha \approx 0,83\).

Решение №39922: a) \(\tan A = \fraq{5}{6} \Rightarrow\), если \(ВС = 5\) см; то \(AB = 6\) см; \(\angle B = 90^\circ\); б) \(\sin A = \fraq{2}{3}\); \(\fraq{a}{c} = \fraq{2}{3} \Rightarrow \fraq{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \fraq{2}{3}\); \(\fraq{a^2}{a^2 + b^2} = \fraq{4}{9}\); \(5a^2 = 4b^2\); \(a = b \cdot \fraq{2}{\sqrt{5}}\). Пусть \(b = 5\) см, тогда \(а \approx 4,5\) см.

Ответ: NaN

Решение №39923: \(\sin \alpha = \fraq{a}{c} = \fraq{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \fraq{8}{\sqrt{8^2 + 15^2}} \approx 0,4\); \(\cos \alpha = \fraq{b}{c} = \fraq{15}{\sqrt{8^2 + 15^2}} \approx 0,88\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{a}{b} = \fraq{8}{15} \approx 0,53\).

Ответ: \(\sin \alpha \approx 0,4\); \(\cos \alpha \approx 0,88\); \(\tan \alpha \approx 0,53\).

Решение №39924: a) \(\sin \alpha = \fraq{1}{2}\); \(cos \alpha = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\fraq{1}{2})^2 + (\fraq{\sqrt{3}}{2})^2 = \fraq{1}{4} + \fraq{3}{4} = 1 \Rightarrow\) может; б) \(\sin \alpha = \fraq{1}{3}\); \(\cos \alpha = \fraq{3}{4}\); \(\sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = (\fraq{1}{3})^2 + (\fraq{\sqrt{3}}{4})^2 = \fraq{1}{9} + \fraq{9}{16} = \fraq{97}{144} < 1 \Rightarrow\) не может.

Ответ: a) Может; б) не может.

Решение №39925: a) \(\cos \alpha = \fraq{12}{13}\); \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\fraq{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \fraq{144}{169}} = \sqrt{\fraq{25}{169}} = \fraq{5}{13}\); б) \(\sin \alpha = \fraq{1}{2}\); \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \fraq{1}{4}} = \sqrt{\fraq{3}{4}} = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); в) \(\sin \alpha = \fraq{15}{17}\); \(tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = \fraq{\fraq{15}{17}}{\sqrt{1 - (\fraq{15}{17})^2}} = \fraq{15}{\sqrt{64}} = \fraq{15}{8}\).

Ответ: a) \(\sin \alpha = \fraq{5}{13}\); б) \(\cos \alpha = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); в) \(tan \alpha = \fraq{15}{8}\).

Решение №39926: a) \(\sin \alpha = \fraq{4}{5}\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = \fraq{4}{5\sqrt{1 - \fraq{16}{25}}} = \fraq{4}{\sqrt{9}} = \fraq{4}{3}\); б) \(\cos \alpha = \fraq{2}{3}\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \fraq{4}{9}}}{\fraq{2}{3}} = \fraq{\sqrt{5}}{2}\).

Ответ: a) \(\fraq{4}{3}\); б) \(\fraq{\sqrt{5}}{2}\).

Решение №39927: a) \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\); б) \(\tan \alpha \cdot \cos \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha\); в) \(1 + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 + 1 = 2\).

Ответ: a) \(\sin^2 \alpha\); б) \(\sin \alpha\); в) 2.

Решение №39928: a) \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\); б) \(\fraq{\tan \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \fraq{1}{\sin \alpha} = \fraq{1}{\cos \alpha}\); в) \(\fraq{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha\).

Ответ: a) \(\cos^2 \alpha\); б) \(\fraq{1}{\cos \alpha}\); в) \(\tan \alpha\).

Решение №39929: \(АС = 1,6\) см; \(AB = 5,8\) см; \(\sin 75^\circ = \fraq{СВ}{AB} = \fraq{5,6}{5,8} \approx 0,97\); \(\cos 75^\circ = \fraq{СA}{AB} = \fraq{1,6}{5,8} \approx 0,28\); \(\tan 75^\circ = \fraq{СВ}{AC} = \fraq{5,6}{1,6} = 3,5\); \(\cot 75^\circ = \fraq{AC}{CB} = \fraq{1,6}{5,6} \approx 0,29\).

Ответ: \(\sin 75^\circ \approx 0,97\); \(\cos 75^\circ \approx 0,28\); \(\tan 75^\circ = 3,5\); \(\cot 75^\circ \approx 0,29\).

Решение №39930: a) \(\sin \alpha = \fraq{5}{8} \Rightarrow \fraq{a}{c} = \fraq{5}{8}\). 1) Строим сторону \(а = 5\) см; 2) строим окружность радиусом \(с = 8\) см с центром в точке \(В\); 3) проводим прямую \(АС\) через точку \(С\) так, что \(АС \perp СВ\) и точка \(А\) принадлежит окружности. б) \(\cos \alpha = \fraq{3}{4}\); \(\fraq{b}{c} = \fraq{3}{4}\). 1) Строим сторону \(b = 3\) см; 2) проводим окружность радиусом \(с = 4\) см; 3) строим прямую, перпендикулярную \(b\).

Ответ: NaN

Решение №39931: По свойству высоты: \(АН = НС\). Тогда \(АН = 24 : 2 = 12\) см. По теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\) (см). Тогда: \(\sin \alpha = \fraq{BH}{AB} = \fraq{5}{13}\); \(\cos \alpha = \fraq{AH}{AB} = \fraq{12}{13}\); \(\tan \alpha = \fraq{BH}{AH} = \fraq{5}{12}\); \(\cot \alpha = \fraq{AH}{BH} = \fraq{12}{5}\).

Ответ: \(\sin \alpha = \fraq{5}{13}\); \(\cos \alpha = \fraq{12}{13}\); \(\tan \alpha = \fraq{5}{12}\); \(\cot \alpha = \fraq{12}{5}\).

Решение №39932: a) \(\tan \alpha = 0,4\); \(\cot \alpha = 2,5\); \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 0,4 \cdot 2,5 = 1 \Rightarrow\) могут; б) \(\tan \alpha = 1,1\); \(\cot \alpha = 0,9\); \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1,1 \cdot 0,9 = 0.99 \Rightarrow\) не могут; в) \(\tan \alpha = \sqrt{5} + 2\); \(\cot \alpha = \sqrt{5} - 2\); \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1 \Rightarrow\) могут.

Ответ: a) Могут; б) не могут; в) могут.

Решение №39933: a) \(1 + \tan^2 \alpha = 1 + \fraq{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \fraq{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \fraq{1}{\cos^2 \alpha}\), что и требовалось доказать; б) \(1+ \cot^2 \alpha = 1 + \fraq{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \fraq{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \fraq{1}{\sin^2 \alpha}, что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39934: a) \(\sin \alpha = 0,5\); \(\cot \alpha = \fraq{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - 0,25}}{0,5} = \fraq{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}\); б) \(\cos \alpha = \fraq{\sqrt{2}}{2}\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \fraq{2}{4}}}{\fraq{\sqrt{2}}{2}} = \fraq{2}{\sqrt{2}} \cdot \fraq{\sqrt{2}}{2} = 1\).

Ответ: a) \(\sin A = \fraq{\sqrt{3}}{2}\); \(\cos A = \fraq{1}{2}\); \(\tan A = \sqrt{3}\); \(\cot A = \fraq{1}{\sqrt{3}}\); б) \(\cos A = 0,28\); \(\sin A = 0,96\); \(\tan A = \fraq{24}{7}\); \(\cot A = \fraq{7}{24}\); в) \(\tan A = 2\); \(cot A = \fraq{1}{2}\); \(\sin A = \fraq{2}{\sqrt{5}}\); \(\cos A = \fraq{1}{\sqrt{5}}\).

Решение №39935: a) \(\sin \alpha = 0,5\); \(\cot \alpha = \fraq{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - 0,25}}{0,5} = \fraq{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}\); б) \(\cos \alpha = \fraq{\sqrt{2}}{2}\); \(\tan \alpha = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} = \fraq{\sqrt{1 - \fraq{2}{4}}}{\fraq{\sqrt{2}}{2}} = \fraq{2}{\sqrt{2}} \cdot \fraq{\sqrt{2}}{2} = 1\).

Ответ: a) \(\sqrt{3}\); б) 1.

Решение №39936: a) \(\fraq{(1+ \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \fraq{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \fraq{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = (\fraq{\cos \alpha}{\sin \alpha})^2 = \cot^2 \alpha\); б) \(\cos \alpha - \cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \cos \alpha \cdot (1 - \sin^2 \alpha) = \cos \alpha \cos^2 \alpha = \cos^3 \alpha\); в) \(\tan \alpha \cot \alpha - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\).

Ответ: a) \(\cot^2 \alpha\); б) \(\cos^3 \alpha\); в) \(\sin^2 \alpha\).

Решение №39937: a) \(\fraq{\cos \alpha}{\cot \alpha} = \fraq{\cos \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = \sin \alpha\); б) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cot \alpha + \sin^2 \alpha = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \fraq{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha =1\); в) \(\cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (1 + \tan^2 \alpha) = \cos^2 \alpha \cdot fra{1}{\cos^2 \alpha} = 1\).

Ответ: a) \(\sin \alpha\); б) 1; в) 1.

Решение №39938: \(\tan A = \fraq{\sin A}{\cos A}\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39939: \(\cot A = \fraq{\cos A}{\sin A}\); \(\sin A < 1 \Rightarrow \cot A < \cos A\), что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39940: a) \(\fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha - \cos^3 \alpha} = \fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha \cdot (1 - \cos^2 \alpha)} = \fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha\); б) \(\tan^2 \alpha \cdot (1 - \sin \alpha)(1 + sin \alpha) = \tan^ \alpha(1 - \sin^2 \alpha) = \fraq{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\); в) \(\fraq{1 + \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} = \fraq{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha\).

Ответ: a) \(\tan \alpha\); б) \(\sin^2 \alpha\); в) \(\tan^2 \alpha\).

Решение №39941: a) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 1 + 1 = 2\); б) \(\fraq{1}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cdot \cot \alpha = \fraq{1}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cdot \fraq{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha\); в) \(\fraq{\tan \alpha \cdot \cot \alpha}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha = \fraq{1}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha = 1 + \tan^ \alpha - \tan^2 \alpha = 1\).

Ответ: a) 2; б) \(\sin \alpha\); в) 1.

Решение №39942: По свойству медианы равнобедренного треугольника \(MB\) - высота и биссектриса, тогда \(\angle ABM = 120^\circ : 2 = 60^\circ\) и \(AM = MC\). \(\angle BAM = 30^\circ \Rightarrow BM = \fraq{AB}{2}\) (как катет, лежащий против угла в \(30^\circ\)) \(\Rightarrow AB - BM = AB - \fraq{AB}{2} = \fraq{1}{2}AB = 8\) см \(\Rightarrow AB = 16\) см.

Ответ: 16 см.

Решение №39943: По теореме Пифагора: \(AM = \sqrt{BM^2 - AB^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) (см). По определению медианы \(АС = 2AM = 24\) см. Тогда: \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AB \cdot AC = \fraq{1}{2} \cdot 5 \cdot 24 = 60 (см^2)\).

Ответ: \(60 (см^2)\).