№39957

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, Тригонометрические функции острого угла,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Упростите выражение: а) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2\); б) \(\fraq{1}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cot \alpha\); в) \(\fraq{\tan \alpha \cot \alpha}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha\).

Ответ

a) 2; б) \(\sin \alpha\); в) 1.

Решение № 39941:

a) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 1 + 1 = 2\); б) \(\fraq{1}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cdot \cot \alpha = \fraq{1}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cdot \fraq{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \fraq{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha\); в) \(\fraq{\tan \alpha \cdot \cot \alpha}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha = \fraq{1}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha = 1 + \tan^ \alpha - \tan^2 \alpha = 1\).