№39956

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, Тригонометрические функции острого угла,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Упростите выражение: а) \(\fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha - \cos^3 \alpha}\); б) \(\tan^2 \alpha(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)\); в) \(\fraq{1 + \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha}\).

Ответ

a) \(\tan \alpha\); б) \(\sin^2 \alpha\); в) \(\tan^2 \alpha\).

Решение № 39940:

a) \(\fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha - \cos^3 \alpha} = \fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha \cdot (1 - \cos^2 \alpha)} = \fraq{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha} = \fraq{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha\); б) \(\tan^2 \alpha \cdot (1 - \sin \alpha)(1 + sin \alpha) = \tan^ \alpha(1 - \sin^2 \alpha) = \fraq{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\); в) \(\fraq{1 + \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} = \fraq{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha\).