№39933

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, Тригонометрические функции острого угла,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Может ли произведение синуса и косинуса одного угла быть равным единице? А произведение тангенса и котангенса?

Ответ

a) Не может быть равным единице; б) Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла всегда равно единице.

Решение № 39917:

a) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \fraq{b}{c} \cdot \fraq{a}{c} = \fraq{ab}{c^2} \Rightarrow ab < c^2\), но \(а < с\) и \(b < с\) (катет всегда меньше гипотенузы) \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \fraq{b}{c} \cdot \fraq{a}{c} = \fraq{ab}{c^2} \Rightarrow ab < c^2\), тогда и \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha\) не может быть равным единице; б) \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \fraq{a}{b} \cdot \fraq{b}{a} = \fraq{ab}{ab} = 1. Произведение тангенса и котангенса одного и того же угла всегда равно единице.