Решение №39424: a) \(ADEC\) - трапеция, т. к. по свойству средней линии треугольника \(DE \parallel AC\). б) \(АЕ\) - медиана \(\Delta АВС\), т. к. по определению средней линии точка \(Е\) cepeдина отрезка \(ВС\).

Ответ: NaN

Решение №39425: Средняя линия треугольника может быть перпендикуляона одной его стороне. Пример - прямоугольный треугольник. Средняя линия треугольника не может быть перпендикулярной двум его сторонам; т. к. в противном случае две стороны треугольника были бы параллельны друг другу, а такого быть не может.

Ответ: NaN

Решение №39426: Средние линии треугольника образуют треугольник \(DEF\). Для \(\Delta DEF\) должно быть выполнено неравенство треугольника: \(DF < DE + EF\), \(DE < DF + FE\), \(FE < DF + DE\). Первое из данных неравенств неверно, т. к. \(10 < 4 + 3\) - неверно \(Rightarrow\) средние линии треугольника не могут быть равны 10 см, 4 см и 3 см.

Ответ: Не могут.

Решение №39427: По определению средней линии \(D\) - середина \(АВ\), т. е. \(AD = DB\). По свойству средней линии \(DE \parallel AC\). Рассмотрим \(\angle ABM\): \(AD = DB\), \(DE \parallel AC \Rightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(А\) и \(D\), отсекают на стороне \(ВМ\) равные отрезки \( \Rightarrow ВK = KМ\), т. е. \(DE\) делит \(ВМ\) пополам. Аналогично \(DE\) делит \(ВН\) пополам.

Ответ: \(DE\) делит \(ВМ\) пополам; (DE\) делит \(ВН\) пополам.

Решение №39428: Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, не является средней линией, т. к. по определению средней линии она соединяет середины боковых сторон.

Ответ: Нет.

Решение №39429: Длина средней линии трапеции - среднее арифметическое длин оснований. Среднее арифметическое не может быть меньше обоих чисел. Средняя линия трапеции не может быть равна одному из оснований трапеции, т. к. в противном случае второе основание трапеции тоже будет равно средней линии.

Ответ: Длина средней линии трапеции - среднее арифметическое длин оснований. Среднее арифметическое не может быть меньше обоих чисел. Средняя линия трапеции не может быть равна одному из оснований трапеции, т. к. в противном случае второе основание трапеции тоже будет равно средней линии.

Решение №39430: Средняя линия трапеции не может проходить через точку пересечения диагоналей, т. к. в противном случае диагонали точкой пересечения будут делиться пополам, а четырехугольник, в котором диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Ответ: Средняя линия трапеции не может проходить через точку пересечения диагоналей, т. к. в противном случае диагонали точкой пересечения будут делиться пополам, а четырехугольник, в котором диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Решение №39431: \(BC_{1} = 1,7\) см; \(C_{1}C_{2} = 1,7\) см; \(C_{2}C_{3} = 1,7\) см; \(C_{3}C_{4} = 1,7\) см.

Ответ: \(BC_{1} = 1,7\) см; \(C_{1}C_{2} = 1,7\) см; \(C_{2}C_{3} = 1,7\) см; \(C_{3}C_{4} = 1,7\) см.

Решение №39432: а) По свойству средней линии \(DE \parallel AC\) и \(EF \parallel DA \Rightarrow ADEF\) - параллелограмм по определению. б) По свойству средней линии \(DE \parallel AC \Rightarrow ADEC\) - трапеция по определению. в) \(\Delta DEF = \Delta FAD = \Delta CEF = \Delta EBD\).

Ответ: а) По свойству средней линии \(DE \parallel AC\) и \(EF \parallel DA \Rightarrow ADEF\) - параллелограмм по определению. б) По свойству средней линии \(DE \parallel AC \Rightarrow ADEC\) - трапеция по определению. в) \(\Delta DEF = \Delta FAD = \Delta CEF = \Delta EBD\).

Решение №39433: \(ОА_{1} = A_{1}A_{2}\) и \(а \parallel b \Rightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(А_{1}\) и \(А_{2}\), отсекают на другой стороне угла равные отрезки \(\Rightarrow OB_{1} = B_{1}B_{2} \Rightarrow B_{1}B_{2} = 4\).

Ответ: \(х = 4\).

Решение №39434: \(DE \parallel AC\), \(AD = DB \Rightarrow\) по теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(А\) и \(D\), отсекают на второй стороне угла равные отрезки \(\Rightarrow BE = EC = 8\) см \(\Rightarrow ВС = 2BE = 16\) см.

Ответ: 16 см.

Решение №39435: \(АВ\) - средняя линия \(\Delta KLM\) (по определению) \(\Rightarrow\) по свойству средней линии \(AB = \fraq{1}{2}KM \Rightarrow АВ = 10\) см. \(ВС\) - средняя линия \(\Delta KLM\) (по определению) \(\Rightarrow\) по свойству средней линии \(BC = \fraq{1}{2}KL = 6\) см. \(AC\) - средняя линия \(\Delta KLM\) (по определению) \(\Rightarrow\) по свойству средней линии \(AC = \fraq{1}{2}LM = 8\) см.

Ответ: 6 см, 8 см, 10 см.

Решение №39436: По свойству средней линии \(ST = \fraq{1}{2}PR \longrightarrow PR = 7 см\). T. к. \(\Delta PQR\) - равносторонний, то \(PQ = QP = PR = 7 см\). \(P_{PQR} = PQ + QR + PR= 3 \cdot 7 = 21 (см)\). Ответ: \(21 см\)

Ответ: Ответ: \(21 см\)

Решение №39437: По свойству средней линии \(DE=\fraq{1{2}AC\), \(FD=\fraq{1}{2}BC\), \(EF= \fraq{1}{2}AB \longrightarrow DE= AF = FC\), \(DF = BE = EC\), \(FE = AD = DB \longrightarrow \Delta CEF = \Delta FAD = \Delta DEF = \Delta EBD\) по трем сторонам.

Ответ: NaN

Решение №39438: По свойству средней линии \(DE = \fraq{1}{2} AC \longrightarrow AC = 10 см\). По определению средней линии \(AD = DB\) и \(ЕС = EB \longrightarrow AB = 2AD = 6 см\), \(BC = 2EC = 8 см\). \(P\Delta _{ABC} = AB + BC + AC = 6 + 8 + 10 = 24 (cм)\). Ответ: \(24 см\).

Ответ: Ответ: \(24 см\)

Решение №39439: \(KL\) - средняя линия \(\Delta АВС\). По свойству средней линии \(LК = \fraq{1}{2} АС = 11 см\). \(KN\) - средняя линия \(\Delta ABD\). По свойству средней линии \(KN = \fraq{1}{2} BD = 9 см\). \(KLMN\) - параллелограмм по условию \(\longrightarrow KN = LM\) и \(LK = NM\). \(P_{KLMN} = KL+ LM+MN+ KN = (9+11) \cdot 2 = 40 (cм)\). Ответ: \(40 см\).

Ответ: Ответ: \(40 см\)

Решение №39440: По свойству средней линии \(EK = \fraq{1}{2} (BC + AD) = \fraq{1}{2} (8 + 2) = 10 (см)\). Ответ: \(10 см\). б) \(FE\) -средняя линия трапеции \(\longrightarrow FE \parallel KN\) по свойству средней линии. \(KF = FL\) по определению средней линии - по теореме Фалеса параллельные прямые, проходящие через точки \(L\), \(F\) и \(К\), отсекают на стороне \(КМ\) равные отрезки \(\longrightarrow КР = РМ\). По определению средней линии \(FP\) - средняя линия \(\Delta KLM\), a \(PE\) - средняя линия \(MKN\). По свойетву средней линии \(КР = \fraq{1}{2} LM\), a \(PE= \fraq{1}{2} KN \longrightarrow LM = 6 см\), \(KN = 8 см\). Ответ: \(8 см, 6 см\).

Ответ: Ответ: \(8 см, 6 см\)

Решение №39441: По свойству средней линии трапеции \(KL = \fraq{1}{2}(BC + AD)\). \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\), а т. к. \(AB = CD\), то \((P_{ABCD} = 2AB + BC + AD \longrightarrow BC+ AD = 26 - 2 \cdot 5 = 16 (см)\) \(KL = \fraq{1}{2} (BC + AD) = 8 (см)\). б) Пусть \(х (см)\) - длина стороны \(ВС\), тогда \(х + 6\) - длина основания \(AD\). По свойству средней линии трапеции: \(EK= \fraq{1}{2} (BC + AD) \longrightarrow 5 = \fraq{1}{2} (x+x+6) \longrightarrow 10 = 2x + 6 \longrightarrow x = 2 (см) \longrightarrow ВС = 2 см\), \(AD = 2 + 6 = 8 (см)\). Ответ: \(2 см\), \(8 см\).

Ответ: Ответ: \(2 см\), \(8 см\)

Решение №39442: По определению средней линии: \(KL\) - средняя линия \(\Delta ABC, NM\) - средняя линия \(\Delta CDA, NK\) - средняя линия \(\Delta DAB\). По свойству средней линии \(KL \parallel AC\) и \(NM \parallel AC\), \(KN\parallel BD\) и \(LM \parallel BD \longrightarrow KL \parallel NM\) и \(KN \parallel LM\) ( по свойству транзитивности) \(\longrightarrow\) четырехугольник \(KLMN\) - параллелограмм. По свойству диагоналей ромба \(BD \perp AC\). T. к. \(KL \parallel AC\) и \(AC \perpBD\), то \(KL \perp BD\). T. к. \(LM \parallel BD\) и \(BD \perp KL\), то \(KL \perp LM\). В параллелограмме \(KLMN\) \(\angle K = 90^\circ \longrightarrow KLMN\) -прямоугольник.

Ответ: NaN

Решение №39443: Доказательство: По определению средней линии \(KL\) - средняя линия \(\Delta АВС, LM\) средняя линия \(ABCD, NM\) средняя линия \(\Delta ACD, КB\) - средняя линия \(\Delta ADB\). По свойству средней линии \(KL= \fraq{1}{2}AC\) \(LM = \fraq{1}{2}BD\), \(NM = \fraq{1}{2}AC\) и \(KN = \fraq{1}{2}BD\). Поскольку диагонали прямоугольника равны, то \(KL = LM = MN = NK\). В четырехугольнике \(KLMN\) все стороны равны \(\longrightarrow KLMN\) - ромб.

Ответ: NaN

Решение №39444: \(l \parallel АС АК = КВ\ \longrightarrow\) по теореме Фалеса \(BF = FC \longrightarrow KF\) - средняя линия \(\Delta АВС\). Т. к. \(AB = ВС\), то \(АК = FC \longrightarrow\) трапеция \(AKFC\) - равнобокая. Пусть длина основания \(AC = 5x (см)\), тогда \(AB = BC = 4х (см)\) - из условия \(АС : ВС = 5 : 4\). \(P_{ABC} = 2AB + AC \longrightarrow 8х + 5x = 26 см\); \(х = 26 : 13 = 2 (см) \longrightarrow AC = 10 см\), \(АВ = ВС = 8 см\). По свойству средней линии \(KF = \fraq{1}{2}AC = 5 см\). Т. к. \(AB = 8 см\), то \(AK = FC = 4 см\). \(P_{AKFC} = AK + KF + FC + CA = 5 + 4 + 10 + 4 = 23 (см)\). Ответ: \(28 см\).

Ответ: Ответ: \(28 см\)

Решение №39445: По свойству средней линии: \(АВ = \fraq{1}{2} KM\), \(BC = \fraq{1}{2}LK\), \(AC= \fraq{1}{2} LM \longrightarrow KM = 2AB\); \(KL = 2BC\), \(LM = 2AC\). Пусть длина \(ВС = 4х (cм)\), т. к. \(BC : AB : AC = 1 : 5 : 6\), тогда \(AB = 5x (см)\), \(AC = 6x(см) \longrightarrow KM = 10x (см)\), KL= 8 (cм)\), \(LM = 12 (см)\). \(P_{KLM} = KM + ML + LN\); \(10x + 8x +12x = 60 \longrightarrow 30x = 60 \longrightarrow x = 2 (см) \longrightarrow KM = 20 см, KL = 16 см, LM = 24 см\). Ответ: \(16 см\), \(20 см\), \(24 см\).

Ответ: Ответ: \(16 см\), \(20 см\), \(24 см\)

Решение №39446: Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой. Проведем \(AH_{1}\), \(BH_{2}\), \(CH_{3} \perp l\). Рассмотрим \(\Delta ABH_{1}\) и \(\Delta BDH_{2}\). \(\angle AH_{1}D = \angle BH_{2}D= 90^\circ\); \(\angle H_{1}DA = \angle H_{2}DB\) (как вертикальные); \(AD = BD \Rightarrow \Delta ADH_{1} = \Delta BDH_{2}\) по гипотенузе и острому углу \(\Rightarrow AH_{1} = BH_{2}\). Рассмотрим \(\Delta ВН_{2}Е\) и \(\Delta CH_{3}E\). \(\angle BH_{2}E = \angle CH_{3}E = 90^\circ\); \(\angle BEH_{2} = \angle CEH_{3}\) (как вертикальные); \(ВЕ = ЕС \Rightarrow \Delta BEH_{2} = \Delta СЕН_{3}\), по гипотенузе и острому углу\(\Rightarrow BH_{2} = CH_{3} \Rightarrow AH_{1} = BH_{2} = CH_{3}\), т. е. вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Ответ: NaN

Решение №39447: По свойству равнобокой трапеции \(АС = BD\). По определению средней линии треугольника \(РТ\) - средняя линия в \(\Delta АВС\), \(ТЕ\) - средняя линия в \(\Delta BCD\), \(EK\) - средняя линия в \(\Delta ACD\), \(РК\) - средняя линия в \(\Delta ADB\). По свойству средней линии: \(РТ = \fraq{1}{2}АС\), \(TE = \fraq{1}{2}BD\), \(EK = \fraq{1}{2}AC\), \(PK = \fraq{1}{2}BD\). T. к. \(AC = BD\), то \(PT = TE = EK = PK \Rightarrow\) четырехугольник \(РТЕK\) - ромб. Доказано.

Ответ: NaN

Решение №39448: Пусть даны три точки, не лежащие на одной прямой, - середины сторон треугольника. Анализ: Пусть искомый треугольник \(ABC\) построен. \(K\), \(L\), \(M\) - середины сторон. По свойству средней линии треугольника \(KL \paralle AC\), \(ML \parallel AB\), \(KM \parallel BC \Rightarrow\) чтобы построить искомый треугольник, необходимо: 1) соединить данные точки, получим три отрезка \(KL\), \(LM\), \(KM\); 2) через т. \(K\) провести прямую \(\parallel ML\), через т. \(М\) провести прямую \(\parallel KL\), через т. \(L\) провести прямую \(\parallel KM\),.

Ответ: NaN

Решение №39449: Можно разрезать по одной из средних линий - допустим \(ML\). Затем приложить \(\Delta MLC\) и \(\Delta KBL\) сторонами \(BL\) и \(LC \Rightarrow ABM_{1}М\) - параллелограмм. Доказательство: По свойству средней линии: \(LM = \fraq{1}{2}AB\), \(KL = \fraq{1}{2}AC\), \(KM = \fraq{1}{2}BC \Rightarrow ML = AK = KB= LM_{1}\), \(BM_{1} = KL = AM \Rightarrow\) по признаку о противолежащих сторонах четырехугольник \(ABM_{1}M\) - параллелограмм.

Ответ: Можно разрезать по одной из средних линий - допустим \(ML\). Затем приложить \(\Delta MLC\) и \(\Delta KBL\) сторонами \(BL\) и \(LC \Rightarrow ABM_{1}М\) - параллелограмм.

Решение №39450: \(\Delta BCD\) - равносторонний \(\Rightarrow BC = BD = DC = a\) и \(\angle B = \angle C = \angle D = 180^\circ : 3 = 60^\circ\). \(BC \parallel AD \Rightarrow \angle CBD = \angle BDA = 60^\circ\) (как внутренние накрест лежащие). Рассмотрим \(\Delta ABD\): \(\angle BDA = 60^\circ\), \(\angle BAD = 90^\circ\), \(BA = a \Rightarrow \angle ABD = 30^\circ\) (по теореме о сумме углов треугольника) \(\Rightarrow AD = \fraq{BD}{2} = \fraq{a}{2}\) (т. к. \(AD\) - катет, лежащий против угла \(30^\circ\)). По свойству средней линии трапеции \(EF = \fraq{1}{2}(AD + BC) = \fraq{1}{2}(\fraq{a}{2}+a) = \fraq{3a}{2} \cdot \fraq{1}{2} = \fraq{3a}{4}\).

Ответ: \(\fraq{3a}{4}\).

Решение №39451: Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой. Проведем \(BD \perp l\), \(OE \perp l\), \(AC \perp l\) (\(AC = 20\) см, \(BD = 14\) см) \(\Rightarrow AC \parallel BD \Rightarrow ABCD\) - трапеция. \(AO = OC\) - как радиусы. Параллельные прямые, проходящие через т. \(А\), \(О\) и \(В\), отсекают на прямой \(l\) равные отрезки, т. е. \(CE = ED\). По определению средней линии \(ОЕ\) - средняя линия трапеции, по ее свойству \(ОЕ = \fraq{1}{2}(AC + BD) = \fraq{1}{2}(20 + 14) = 17\) (см). \(ОЕ\) - радиус, проведенный в точку касания \(\Rightarrow d = 2OE = 34\) (см).

Ответ: 34 см.

Решение №39452: Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Проведем \(AD \perp l\), \(KE \perp l\), \(BC \perp l\) (\(AD = 7\) см, \(BC = 11\) см) \(\Rightarrow AD \parallel KE \parallel BC \Rightarrow ABCD\) - трапеция. Параллельные прямые, проведенные через точки \(А\), \(K\) и \(В\), отсекают от прямой \(l\) равные отрезки, т. e. \(DE = EC\) (по теореме Фалеса). \(AK = KB\), \(DE = EC \Rightarrow KE\) - средняя линия трапеции (по определению) \(\Rightarrow\) по свойству средней линии трапеции \(KЕ = \fraq{1}{2}(AD + BC) = \fraq{1}{2}(7 + 11) = 9\) (см).

Ответ: 9 см.

Решение №39453: \(AK = KL = LM = MB\). Параллельные прямые, проходящие через точки \(А\), \(K\), \(L\), \(M\), отсекают от второй стороны угла равные отрезки (по теореме Фалеса) \(\Rightarrow BN = NP = PT = TC\). T. к. \(AK = KL = LM = MB \Rightarrow AL = LB\). T. к. \(BN = NP = PT = TC \Rightarrow BP = РС \Rightarrow\) по определению средней линии треугольника \(LP\) - средняя линия \(\Delta АВС\). По свойству средней линии \(LP = \fraq{1}{2} AC = 6\) см и \(LP \parallel AC\). Т. к. \(LM = MB\) и \(BN = NP \Rightarrow\) по определению средней линии треугольника \(MN\) - средняя линия \(\Delta LBP \Rightarrow MN = \fraq{1}{2}LP = 3\) см (по бронатву средней линии). \(LP \parallel AC \Rightarrow\) - трапеция, \(AK = KL\), \(РТ = ТС \Rightarrow\) по определению средней линии \(KТ\) - средняя линия трапеции. По свойству средней линии трапеции \(KT = \fraq{1}{2}(AC + LP) = \fraq{1}{2}(12 + 6) = 9\) (см).

Ответ: 9 см, 6 см, 3 см.